Potenzgesetze – Einführung

Potenzgesetze – Einführung Übung

• Beschreibe, was man unter einer Potenz versteht.

  Tipps

  Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für eine Summe, bei welcher der gleiche (natürliche) Summand mehrmals vorkommt.

  Schaue dir das folgende Beispiel an:

  $\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}=2^3$.

  • Der wiederkehrende Faktor ist die Basis der Potenz und
  • die Anzahl, wie oft dieser Faktor vorkommt, ist der Exponent.

  Überlege dir bei dem Begriff „Basis“, woher du diesen noch kennen könntest.

  Lösung

  Was ist eine Potenz?

  Eine kurze Wiederholung: Die Multiplikation ist eine abkürzende Schreibweise für eine Addition, bei welcher der gleiche (natürliche) Summand mehrmals vorkommt.

  Zum Beispiel ist $4+4+4+4+4=5\cdot 4$.

  Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem ein Faktor mehrmals vorkommt.

  Auch hierfür kann man sich ein Beispiel anschauen

  $\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}=2^3$

  • In diesem Beispiel kommt der Faktor $2$ dreimal vor.
  • Der wiederkehrende Faktor $2$ ist die Basis der Potenz und
  • die Anzahl, wie oft dieser Faktor vorkommt, ist der Exponent.

  Ganz allgemein sieht eine Potenz so aus

  $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$

  Die reelle Zahl $a$ ist die Basis und die natürliche Zahl $n$ ist der Exponent. Der Term $a^n$ wird als die Potenz oder der Potenzwert bezeichnet.

• Gib an, wie man mit Potenzen rechnen kann.

  Tipps

  Mache dir jedes der Gesetze an einfachen Zahlenbeispielen klar.

  Zum Beispiel ist

  $2^3\cdot 2^4=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}\cdot\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{\text{4-mal}}$.

  Zähle nun, wie oft der Faktor $2$ insgesamt vorkommt: $3+4=7$ mal.

  Also ist $2^3\cdot 2^4=2^7$.

  Du kannst dir die Potenzgesetze auch in Worten merken: Zum Beispiel

  Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.

  Achte bei dem Quotienten von Potenzen auf die Reihenfolge der Division.

  Lösung

  Potenzen mit gemeinsamem Exponenten

  Potenzen von Produkten

  $a^n\cdot b^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{\text{n-mal}}$.

  Die Reihenfolge der Faktoren beim Multiplizieren darf verändert werden: Es werden jeweils die beiden Faktoren $a$ und $b$ zu einem Produkt zusammengefasst. Dieses Produkt ist dann wieder selbst ein Faktor, welcher $n$-mal vorkommt:

  $a^n\cdot b^n=\underbrace{(a\cdot b)\cdot ... \cdot (a\cdot b)}_{\text{n-mal}}=(a\cdot b)^n$.

  Gesamt gilt somit

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

  In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

  Potenzen von Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$

  In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

  Potenzen von Potenzen $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  Potenzen mit gemeinsamer Basis

  Produkt von Potenzen: Dies kann man sich an einem Beispiel klarmachen:

  $2^3\cdot 2^4=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2}_{\text{3-mal}}\cdot\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{\text{4-mal}}$.

  Nun kann man zählen, wie oft der Faktor $2$ insgesamt vorkommt: $3+4=7$ mal.

  Also ist $2^3\cdot 2^4=2^7$.

  Dies kann verallgemeinert werden zu

  $a^n\cdot a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-mal}}=a^{n+m}$

  In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert.

  Quotient von Potenzen:

  $\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-mal}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}}$.

  Nun können, je nachdem welche Anzahl der Faktoren größer ist, entsprechend viele Faktoren gekürzt werden und man erhält

  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  Auch dies kann in Worten formuliert werden: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.

• Stelle die folgenden Produkte als Potenzen dar.

  Tipps

  Beachte, dass der wiederkehrende Faktor in der Basis der Potenz, also unten, steht.

  Zähle, sofern nötig, die Anzahl der wiederkehrenden Faktoren.

  Beachte, dass die Basis und der Exponent in der Regel nicht vertauschbar sind:

  $2^5\neq 5^2$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollen die verschiedenen Schreibweisen von Potenzen geübt werden.

  Ein Produkt kann ausgeschrieben werden:

  • $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4$ oder
  • $5\cdot 5\cdot 5=5^3$.

  Jedes Mal ist der wiederkehrende Faktor (die $2$ oder die $5$) die Basis und die Zahl, die angibt, wie oft der Faktor wiederkehrt, der Exponent.

  Das Produkt kann auch mit einer geschwungenen Klammer geschrieben werden. Unter der Klammer steht die Anzahl der Faktoren:

  • $\underbrace{3\cdot 3\cdot ... \cdot 3}_{\text{6-mal}}=3^6$
  • $\underbrace{6\cdot 6\cdot ... \cdot 6}_{\text{5-mal}}=6^5$

• Prüfe, welche der Rechnungen zu $2^8$ führen.

  Tipps

  Hier siehst du die einzelnen Potenzgesetze

  • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$
  • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$
  • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$
  • $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$
  • $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

  Achte bei dem Gesetz

  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

  auf die Reihenfolge der Subtraktion.

  Schaue dir ein Beispiel an

  $\left(2^4\right)^2=2^8$.

  Beachte, dass $2=2^1$ ist.

  Lösung

  Viele Wege führen zu $2^8$. Mit Hilfe der Potenzgesetze können die folgenden Terme vereinfacht werden:

  • $\left(2^2\right)^4=2^{2\cdot 4}=2^8$
  • $2^2\cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$
  • $\sqrt{2^{16}}=\left(2^{16}\right)^{\frac12}=2^{16\cdot \frac12}=2^8$
  • $\frac{2^{16}}{2^2}=2^{16-2}=2^{14}$
  • $\frac{2^9}{2}=\frac{2^9}{2^1}=2^{9-1}=2^8$
  • $\frac{8^8}{4^8}=\left(\frac84\right)^8=2^8$

• Bestimme einige spezielle Potenzen.

  Tipps

  Schaue dir die Reihe der Zweierpotenzen an:

  • $2^2=4$
  • $2^3=8$
  • $2^4=16$

  ... der Exponent erhöht sich jeweils um $1$ und der Potenzwert wird immer mit $2$, der Basis, multipliziert.

  Wenn du nun rückwärts gehst, verringert sich der Exponent immer um $1$ und der Potenzwert wird immer durch $2$ dividiert.

  Bei einer Potenz mit der Basis $0$ taucht in einem Produkt $n$-mal der Faktor $0$ auf.

  Beachte, dass $0\cdot 0=0$ ist.

  Bei einer Potenz mit der Basis $1$ taucht in einem Produkt $n$-mal der Faktor $1$ auf.

  Beachte, dass $1\cdot 1=1$ ist.

  Lösung

  Die folgenden speziellen Potenzen sollte man sich einprägen. Diese werden häufig im Zusammenhang mit den Potenzgesetzen benötigt.

  • $a^0=1$.
  • $a^1=a$. Das bedeutet, man kann den Exponenten $1$ auch weglassen oder, umgekehrt, jede Zahl als Zahl hoch $1$ schreiben.
  • $0^n=\underbrace{0\cdot 0\cdot ... \cdot 0}_{\text{n-mal}}=0$ für alle natürlichen Exponenten $n$.
  • $1^n=\underbrace{1\cdot 1\cdot ... \cdot 1}_{\text{n-mal}}=1$.

  negative Exponenten

  • Es ist $a^{-n}=\frac1{a^n}$ und
  • $\frac1{a^{-n}}=a^n$.
  • Wenn man einen Bruch mit einem negativen Exponenten potenziert, kann man auch den Kehrwert des Bruches mit dem positiven Exponenten potenzieren: $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^{n}$.

  Wurzeln als Potenzen

  Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten $n$ kann auch als Potenz geschrieben werden. Dabei ist der Radikand die Basis und der Kehrwert des Wurzelexponenten der Exponent:

  $\sqrt[n] a=a^{\frac1n}$.

• Gib jeweils die Potenz als Potenz mit der Basis $2$ an und bestimme den entsprechenden Exponenten.

  Tipps

  Merke dir:

  • $\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$
  • $\frac1{a^n}=a^{-n}$

  Es ist

  • $4=2^2$
  • $8=2^3$
  • ...

  Es kommen zwei negative Exponenten vor.

  • $8^6=\left(2^3\right)^6=2^{3\cdot 6}=2^{18}$
  • $4^3=\left(2^2\right)^3=2^{2\cdot 3}=2^{6}$

  Lösung

  Potenzen mit der Basis $2$ sind die Grundlage für den binären Zahlencode, mit dem Computer arbeiten. Das zu Grunde liegende Zahlensystem ist das Zweiersystem.

  Üblicherweise nutzt man das Zehnersystem: In diesem System wird die Basis $10$ genutzt.

  In dieser Aufgabe werden verschiedene Potenzgesetze geübt, wobei die Potenzen jeweils Zweierpotenzen sind.

  1. $4^4=\left(2^2\right)^4=2^{2\cdot 4}=2^8$
  2. $0,25=\frac14=\frac1{2^2}=2^{-2}$
  3. $\frac{8^6}{4^3}=\frac{2^{3\cdot 6}}{2^{2\cdot 3}}=\frac{2^{18}}{2^6}=2^{18-6}=2^{12}$
  4. $\sqrt{16}=4=2^2$
  5. $\frac{\sqrt{16}}{0,25}=2^2\cdot \left(\frac12\right)^{-2}=2^2\cdot 2^2=2^{2+2}=2^4$
  6. $\frac{2^3}{4^3}=\left(\frac24\right)^3=\left(\frac12\right)^3=2^{-3}$