Sattelpunkt – Erklärung (1)

Hallo! Im nächsten Film hab ich angedeutet, dass es passieren könnte, dass eine Ableitung an einer Stelle 0 ist, in diesem Bereich nicht konstant 0 ist und auch keinen Vorzeichenwechsel hat. Wie würde das aussehen und was bedeutet das für die Ausgangsfunktion? Mal angenommen, ich male hier eine Ableitung, und die soll hier mal zwischen 3 und 4 0 sein. Egal, wo das ist, ob 3 oder 4 ist völlig Wurst, also irgendwo soll sie 0 sein. Wenn sie nicht konstant 0 sein soll, dann muss sie links davon, zum Beispiel hier, positiv sein, warum nicht? Wenn sie jetzt keinen Vorzeichenwechsel haben soll, dann darf sie rechts von diesem Nullpunkt, von der Nullstelle der Ableitung, darf sie dann also nicht negativ sein. Denn dann hätte sie ja einen Vorzeichenwechsel, also kann sie hier wieder positiv sein. Positiv, positiv, also die Ableitung fällt hier zwar, aber die Ableitungswerte selber sind ja hier positiv, da sind sie 0, da sind sie auch positiv. Was bedeutet das für die Ausgangsfunktion? Es bedeutet, da wo die Ableitungswerte groß sind, da steigt die Funktion steil an. Zum Beispiel so. Dann sind die Ableitungswerte positiv, aber kleiner. Die Ausgangsfunktion steigt nicht so stark, sie steigt weniger, noch weniger, und zwischen 3 und 4 steigt sie dann überhaupt nicht mehr. Das ist hier ungefähr. Danach steigt sie noch. Na, so ungefähr will ich das mal hierhin malen. Das muss wieder weg. Also so kann man sich das vorstellen. Hier steigt sie noch, aber wenig, und hier steigt sie überhaupt nicht mehr. Danach ist die Ableitung wieder positiv. Das heißt, die Ausgangsfunktion muss wieder steigen, steigt immer mehr, weil die Ableitungswerte größer werden, immer mehr. Und so sieht das dann ungefähr aus. So, was haben wir jetzt hier genau an der Stelle? Das will ich mal so eben hier andeuten. Na, ganz gelungen ist es nicht, aber an der Stelle hier, was passiert da? Da ist die Ableitung 0. Davor steigt die Funktion, danach steigt sie auch wieder. Ich zeig das einmal noch in groß noch mal. Da kannst du das sehen. Und dieser Punkt hier, da wo die Ableitung 0 ist, der nennt sich Sattelpunkt. Und zwar deshalb, weil man hier sich so ein Pferd vorstellen kann. Ich will es jetzt nicht malen, das Pferd, aber ich hoffe, du kannst dir das vorstellen, dass hier so der Hintern des Pferdes ist, hier ist der Kopf ungefähr, der Schweif. Und da drauf liegt der Sattel. Der liegt also da, wo das Pferd, wo der Pferderücken keine Steigung hat. Deshalb nennt sich das Sattelpunkt. Und die Ableitung haben wir jetzt so konstruiert, dass sie ein Minimum hat. Ein echtes Minimum. Vorher ist sie positiv, danach ist sie auch positiv, zwischendurch hat sie ein Minimum. Und nicht nur irgendein Minimum, sondern die Ableitung ist dort, die Ableitung hat dort eine Nullstelle. Wir haben also gezeigt, wenn die Ableitung 0 ist und dort ein Minimum hat, dann hat die Ausgangsfunktion dort einen Sattelpunkt. Und dann, in dem nächsten Film, zeig ich noch, wie das weitergeht mit den Minima und Maxima der Ableitung. Bis dahin! Viel Spaß! Tschüss!