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Sind irrationale Zahlen komisch?

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Sind irrationale Zahlen komisch?
lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Sind irrationale Zahlen komisch?

Sind irrationale Zahlen komisch? Nein. Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen, nichtperiodischen Nachkommastellen. Deshalb kann niemand eine solche Zahl mit allen Nachkommastellen aufschreiben. Im Video wird gezeigt, wie du trotzdem davon übrzeugt sein kannst, dass solche Zahlen zumindest als Punkte auf der Zahlengeraden tatsächlich existieren. Dabei sind diese Punkte auf der Zahlengerade auch nicht mehr oder weniger komisch als alle anderen Punkte auf dieser Geraden. Wieviele Nachkommastellen ein solcher Punkt hat, hängt auch davon ab, welchen Maßstab man an die Zahlengerade anlegt bzw. welches Zahlensystem man verwendet, wie du im Video sehen kannst.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Es wurde viel zu leise geschprochen

    Von Deleted User 610619, vor fast 3 Jahren
  2. Legende

    Von Max M., vor etwa 3 Jahren
  3. Beste Videos von ihnen!
    =O

    Von Ralfburkert, vor mehr als 3 Jahren
  4. Du bist der Beste

    Von Sngohung, vor mehr als 4 Jahren

Sind irrationale Zahlen komisch? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sind irrationale Zahlen komisch? kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine irrationale Zahl ist.

    Tipps

    Jede Wurzel aus einer Zahl, die nicht Quadratzahl einer rationalen Zahl ist, ist irrational.

    Eine irrationale Zahl ist nicht rational.

    Jede rationale Zahl ist eine Dezimalzahl, die

    • entweder endlich viele Nachkommastellen hat (zum Beispiel $0,234$)
    • oder eine periodische Dezimalzahl ist (zum Beispiel $0,\bar 3$).

    Lösung

    Was sind rationale Zahlen?

    Die rationalen Zahlen sind die „Bruchzahlen“. Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden. Dabei kann die Dezimalzahl

    • entweder endlich viele Nachkommastellen haben (zum Beispiel $0,234$)
    • oder eine periodische Dezimalzahl sein (zum Beispiel $0,\bar 3$).
    Die Menge der rationalen Zahlen wird wie folgt dargestellt: $\mathbb{Q}=\left\{\frac ab;~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

    Was sind irrationale Zahlen?

    Gibt es auch Zahlen, die nicht rational sind, also irrational? Ja! Zum Beispiel sind $\sqrt 2$, $\sqrt 3$ oder $\sqrt 5$ irrationale Zahlen.

    Wenn also die rationalen Zahlen alle Dezimalzahlen sind, die entweder endlich viele Nachkommastellen haben oder periodisch sind, dann sind die irrationalen Zahlen diejenigen Dezimalzahlen, die weder endlich viele Nachkommastellen haben noch periodische Dezimalzahlen sind.

    Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass sich irrationale Zahlen nicht als Brüche schreiben lassen.

  • Ergänze die Erklärung zu den irrationalen Zahlen am Zahlenstrahl.

    Tipps

    Beachte, dass der identische Flächeninhalt auch nach Zerschneiden der Quadrate und neuem Zusammenlegen erhalten bleibt.

    Der Flächeninhalt $A$ eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ ist gegeben durch $A=a^2$.

    Wenn du also den Flächeninhalt eines Quadrates kennst und die Seitenlänge des Quadrates ermitteln möchtest, musst du die Wurzel ziehen.

    Lösung

    Da die Seitenlängen jedes der Quadrate oberhalb des Zahlenstrahls $1~dm$ beträgt, ist der Flächeninhalt jeweils $1~dm^2$.

    Das Rechteck aus diesen beiden Quadraten hat also den Flächeninhalt $2\cdot 1~dm^2=2~dm^2$.

    Nun werden die beiden Quadrate jeweils entlang ihrer Diagonalen zerschnitten und zu einem Quadrat (unterhalb der Zahlengerade) zusammengelegt. Natürlich hat dieses Quadrat den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Quadrate oberhalb der Zahlengerade, nämlich $2~dm^2$.

    Um die Seitenlänge dieses Quadrates zu ermitteln, musst du noch die Wurzel ziehen und erhältst für diese $\sqrt 2~dm$.

    Dies siehst du auch hier in dem Bild angedeutet.

    Übrigens ist $\sqrt 2$ eine irrationale Zahl. Das bedeutet, dass sie weder eine endende noch eine periodische Dezimalzahl ist. Die genaueste Art, $\sqrt 2$ zu schreiben, ist eben diese: $\sqrt 2$.

    Aber natürlich kannst du die Zahl auch näherungsweise angeben:

    $\sqrt 2\approx1,414$.

  • Entscheide, ob eine irrationale Zahl vorliegt.

    Tipps

    Wenn du Wurzeln multiplizierst, kannst du wie folgt vorgehen:

    $\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{a\cdot b}$.

    Schreibe Dezimalzahlen unter der Wurzel als Dezimalbruch (im Nenner steht eine Zehnerpotenz).

    Du ziehst die Wurzel aus einem Bruch, indem du die Wurzel aus dem Zähler durch die Wurzel aus dem Nenner dividierst.

    Wenn du eine natürliche Zahl mit einer irrationalen Zahl multiplizierst, erhältst du eine irrationale Zahl.

    Lösung

    Du weißt schon, dass die Wurzeln von einigen Zahlen irrational sind. Sie lassen sich also nicht durch eine endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen.

    Rational sind sicher die Wurzeln aus Quadratzahlen. Dies sind Zahlen, die sich als Quadrat einer natürlichen Zahl schreiben lassen:

    • Weil $25=5^2$ gilt, ist $\sqrt{25}=5$ eine natürliche Zahl.
    • Ebenso verhält es sich bei $121=11^2$ und umgekehrt $\sqrt{121}=11$.
    • ...
    Natürlich kannst du auch Dezimalzahlen quadrieren:

    • $1,2^2=1,44$. Somit ist $\sqrt{1,44}=1,2$ eine rationale Zahl.
    • $2,5^2=6,25$. Dann ist auch $\sqrt{6,25}=2,5$ eine rationale Zahl.
    Es ist gar nicht so einfach zu erkennen, ob die Wurzel aus einer Zahl irrational ist.

    Wenn du eine natürliche Zahl mit einer irrationalen Zahl multiplizierst, erhältst du eine irrationale Zahl:

    • $\sqrt 4\cdot \sqrt 2=2\cdot \sqrt 2$ ist irrational.
    • $\sqrt 6\cdot \sqrt{25}=\sqrt6\cdot 5$ ist ebenfalls irrational.
    Das Produkt zweier irrationaler Zahlen kann rational sein. Schaue dir hierfür diese Beispiele an:

    • $\sqrt 2\cdot \sqrt 2=2$ oder
    • $\sqrt 3\cdot \sqrt{27}=\sqrt{81}=9$
  • Berechne $\sqrt 3$ näherungsweise.

    Tipps

    Das nächste Folgeglied $a_1$ lässt sich mithilfe von $a_0$ berechnen:

    $a_{0+1}=\frac12\left(a_0+\frac3{a_0}\right)$.

    Wenn die Zahl $2,345$ eingetragen werden soll, müsstest du, wenn $2,3$ bereits da steht, in eine Lücke die $4$ und in die nächste die $5$ eintragen.

    Ab $a_3$ musst du runden.

    Quadriere jeweils und vergleiche das Ergebnis mit $\sqrt 3^2=3$.

    Lösung

    Wir berechnen nun mit dem Heron-Verfahren einige Näherungswerte für $\sqrt 3$, quadrieren diese und machen dies so lange, bis das Quadrat bis auf drei Nachkommastellen mit $3$ übereinstimmt.

    1. $a_0=3$. Damit ist
    2. $a_{1}=\frac12\left(3+\frac3{3}\right)=2$. Weiter geht's mit
    3. $a_{2}=\frac12\left(2+\frac{3}{2}\right)=1,75$
    4. $a_{3}=\frac12\left(1,75+\frac{3}{1,75}\right)\approx1,732$
    5. $a_{4}=\frac12\left(1,732+\frac{3}{1,732}\right)\approx1,732$
    Du siehst, bei drei Nachkommastellen ändert sich bereits nichts mehr.

    Schauen wir uns einmal an, was $1,732^2$ ergibt:

    $1,732^2=2,999824$.

    Das ist schon recht nahe bei $3$. Wenn du noch einige Nachkommastellen mehr aufschreibst, wirst du $\sqrt 3$ noch genauer berechnen können.

  • Nenne einige irrationale Zahlen.

    Tipps

    Das Ziehen einer Wurzel führt nicht immer zu einer irrationalen Zahl.

    Zum Beispiel ist $3^2=9$ und damit $\sqrt 9=3$. Dies ist sicher keine irrationale Zahl.

    Es sind nur drei der fünf Zahlen irrational.

    Beachte, dass

    • $1^2=1$ und
    • $2^2=4$ ist.
    Lösung

    Schöne Beispiele für irrationale Zahlen sind Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind.

    Quadratzahlen sind Zahlen, die sich als Quadrat einer anderen natürlichen Zahl schreiben lassen:

    • $1=1^2$ und damit $\sqrt 1=1$,
    • $4=2^2$ und damit $\sqrt 4=2$,
    • $9=3^2$ und damit $\sqrt 9=3$,
    • ...
    Für alle anderen natürlichen Zahlen $n\in \mathbb{N}$ ist $\sqrt n$ eine irrationale Zahl, also auch $\sqrt 2$ oder $\sqrt 3$ oder $\sqrt 5$ ...

    Übrigens gibt es ganz schön viele irrationale Zahlen. Etwas mathematischer drückt man dies so aus: Es gibt überabzählbar unendlich viele irrationale Zahlen.

    Hier siehst du noch weitere Beispiele für irrationale Zahlen:

    • Die Kreiszahl $\mathbb{\pi}$ ist eine irrationale Zahl. Sie kann zum Beispiel mit dem Näherungsverfahren nach Archimedes auf viele Stellen hinter dem Komma berechnet werden. Mittlerweile ist $\pi$ bereits auf mehr als 1 Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet. Wir begnügen uns hier mit einundzwanzig Nachkommastellen: $\pi=3,141592653589793238462... $
    • Die Eulersche Zahl $\mathbf{e}$ ist ebenfalls eine irrationale Zahl: $e=2,718...$
  • Weise nach, dass $\sqrt 2$ irrational ist.

    Tipps

    Verwende die 1. binomische Formel:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Wenn du eine beliebige Zahl mit einer geraden Zahl multiplizierst, erhältst du eine gerade Zahl.

    Die Summe zweier gerader Zahlen ist wieder eine gerade Zahl.

    Wenn du zu einer geraden Zahl $1$ addierst, erhältst du eine ungerade Zahl.

    Lösung

    Hier ist der Beweis für die Irrationalität von $\sqrt 2$:

    Wie oben bereits zu sehen ist, nehmen wir an, dass $\sqrt 2$ rational ist, was zu einem Widerspruch geführt wird. Dies würde beweisen, dass $\sqrt2$ tatsächlich irrational ist.

    Was bedeutet es, dass $\sqrt 2$ rational ist? $\sqrt 2$ lässt sich dann als Bruch darstellen:

    $\sqrt 2=\frac ab$.

    Da $\sqrt 2$ positiv ist, gilt $a\in \mathbb{N}$ und $b\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Sicherlich sind nicht sowohl $a$ als auch $b$ gerade Zahlen.

    Sei nun der Zähler ungerade und der Nenner gerade, dann gilt:

    $\sqrt 2=\frac{2m+1}{2n}$.

    Dabei sind sowohl $m$ als auch $n$ natürliche Zahlen.

    Nun kannst du beide Seiten der Gleichung quadrieren und erhältst:

    $2=\frac{(2m+1)^2}{(2n)^2}=\frac{4m^2+4m+1}{4n^2}$.

    Der Beweis ist fast fertig. Du multiplizierst nun auf beiden Seiten mit $4n^2$ zu $8n^2=4m^2+4m+1$.

    Auf der rechten Seite steht nun sicher eine gerade Zahl: $8n^2$.

    Kommen wir nun zu der linken Seite:

    • $4m^2$ ist eine gerade Zahl und $4m$ ebenfalls.
    • Damit ist auch $4m^2+4m$ eine gerade Zahl.
    • Addierst du zu einer geraden Zahl $1$, erhältst du eine ungerade Zahl: $4m^2+4m+1$.
    Das bedeutet, dass es eine Zahl geben muss, die sowohl ungerade als auch gerade ist. Dies ist ein Widerspruch.

    Dann muss die Annahme falsch gewesen sein, was wiederum bedeutet, dass $\sqrt 2$ nicht rational sein kann und somit irrational ist. Das nennt man Widerspruchsbeweis.

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