Verhältnisgleichungen lösen
Verhältnisgleichungen einfach erklärt: Erfahre, wie man Verhältnisgleichungen anhand eines Yeti-Beispiels im Schnee aufstellt und löst. Lerne, wie verschiedene Größen miteinander in Beziehung gesetzt werden und wie man die gesuchten Werte berechnet. Das Ganze ist leicht verständlich erklärt - auch für Schülerinnen und Schüler in Deutschland. Wenn du Neugierig geworden bist, findest du all das und noch vieles mehr im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Verhältnisgleichungen lösen
Wie löst man eine Verhältnisgleichung?
Der Yeti Meinhold ist verzweifelt. In zwei Stunden hat er ein Date mit Rezna und gerade hat es angefangen zu schneien. Yeti-Regel Nr. $5$ besagt:
Fallen $120\,\pu{cm}$ Schnee, bleib im Bett und trinke Tee.
Fällt das Date also in den Schnee?
Der Yeti-Wetterbericht kündigt für den Abend konstanten Schneefall an – $30\,\pu{cm}$ pro halbe Stunde. Rezna erwartet Meinhold in $2$ Stunden. Wie viel Neuschnee wird bis dahin gefallen sein? Lass uns Meinhold bei dieser Überlegung helfen. Dafür müssen wir wissen, wie man Verhältnisgleichungen löst. In diesem Text wird das Lösen von Verhältnisgleichungen einfach erklärt.
Wiederholung: Was ist eine Verhältnisgleichung?
Eine Verhältnisgleichung ist eine Gleichung der Form:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Die Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ stehen jeweils für eine Zahl. Hierbei werden zwei Verhältnisse gleichgesetzt. Sind drei Zahlen in der Verhältnisgleichung bekannt, so kann die vierte einfach berechnet werden. Wie das funktioniert, schauen wir uns im Folgenden genauer an.
Verhältnisgleichung aufstellen
Zunächst müssen wir eine Verhältnisgleichung aufstellen. Dafür müssen wir für die Zähler und Nenner jeweils dieselben Größen nutzen. In diesem Falle wollen wir das Verhältnis von Schneefall in $\pu{cm}$ und Zeit in Stunden, abgekürzt mit $\pu{h}$, ausdrücken. Wir schreiben den Schneefall in $\pu{cm}$ also in den Nenner und die Zeit $\pu{h}$ in den Zähler. Damit sich eine wahre Gleichung ergibt, müssen diese Einheiten auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer gleich sein!
$\frac{\pu{cm}}{\pu{h}} = \frac{\pu{cm}}{\pu{h}}$
Welche Informationen sind gegeben? Wir wissen, dass in einer halben Stunde $30\,\pu{cm}$ Schnee fallen. Also können wir das als ersten Bruch schreiben.
$\frac{30\,\pu{cm}}{0,5\,\pu{h}} = \frac{c}{d}$
Die Frage, die wir uns stellen, ist: Wie viel Schnee fällt in zwei Stunden? Also schreiben wir ein $x$ für die unbekannte Menge an Schnee in den Zähler vom zweiten Bruch. In den Nenner vom zweiten Bruch schreiben wir die $2$ Stunden. Unsere Verhältnisgleichung lautet dann:
$\frac{30\,\pu{cm}}{0,5\,\pu{h}} = \frac{x}{2\,\pu{h}}$
Wie löst man diese nun?
Verhältnisgleichung lösen
Um die gesuchte Lösung zu finden, kannst du über Kreuz multiplizieren. Das darfst du jedoch nicht mit dem Kürzen über Kreuz verwechseln. Das wiederum hilft dir bei der Multiplikation von Brüchen.
Wir stellen die beiden Produkte nun als Gleichungen dar.
$30\,\pu{cm} \cdot 2\,\pu{h} = 0,5\,\pu{h} \cdot x$
Wir können $2$ mit $30$ multiplizieren. Die Einheit $\pu{h}$ taucht auf beiden Seiten einmal auf, wir können sie also kürzen.
$60\,\pu{cm} = 0,5\cdot x$
Um diese Gleichung nach $x$ aufzulösen, dividieren wir beide Seiten durch $0,5$.
$ 60\,\pu{cm} = 0,5\,x \quad |:0,5$
$\frac{60}{0,5}\,\pu{cm} = x$
$\Rightarrow x = 120\,\pu{cm}$
Die gesuchte Größe $x$ ist gleich $120\,\pu{cm}$. Das bedeutet, dass der Neuschnee nach $2$ Stunden $120\,\pu{cm}$ hoch sein wird. So ein Pech für Meinhold.
Dann stapft er einfach schon vorher zu Rezna, damit er es gerade noch schafft, ohne die Regeln zu brechen. Er beschließt loszulaufen, wenn der Neuschnee genau $100\,\pu{cm}$ hoch ist. Doch wann wird das sein? Stellen wir dafür eine neue Verhältnisgleichung auf. Diesmal ist die Zeit die gesuchte Größe $x$.
$\frac{30\,\pu{cm}}{0,5\,\pu{h}} = \frac{100\,\pu{cm}}{x}$
Wieder wollen wir die Verhältnisgleichung mit Multiplikation über Kreuz lösen.
$30\,\pu{cm} \cdot x = 0,5\,\pu{h} \cdot 100\,\pu{cm}$
$\, 30\cdot x = 50\,\pu{h} \quad |:30$
$\quad x = \frac{50}{30}\,\pu{h}$
$\Rightarrow x = 1\,\frac{2}{3}\,\pu{h}$
Meinhold muss in $1\,\frac{2}{3}\,\pu{h}$, also in einer Stunde und $40$ Minuten, losstapfen. Er muss sich also $20$ Minuten früher als geplant auf den Weg machen.
Willst du das Lösen von gegebenen Verhältnisgleichungen noch etwas üben? Hier auf der Seite findest du Arbeitsblätter und Übungen mit Aufgaben zum Thema Verhältnisgleichung lösen.
Transkript Verhältnisgleichungen lösen
Der Yeti Meinhold ist verzweifelt. Warum? In zwei Stunden hat er ein Date mit der schönen Rezna. Und gerade hat es angefangen zu schneien. Na und? Was ist schon ein bisschen Schnee, wenn man ein Date mit der Yetidame seiner Träume hat? Nun, Yetiregel Nummer fünf besagt: Fallen 120 Zentimeter Schnee, bleib im Bett und trinke Tee. Fällt das Date also in den Schnee? Der Yeti-Wetterbericht kündigt für den Abend konstanten Schneefall an, 30 Zentimeter pro halbe Stunde. Und die schöne Rezna erwartet ihn in zwei Stunden. Wie viel Neuschnee wird bis dahin gefallen sein? Lasst uns Meinhold bei dieser Überlegung helfen. Dazu können wir eine Verhältnisgleichung aufstellen. Hierbei müssen wir für die Zähler und Nenner, beziehungsweise Dividend und Divisor jeweils dieselben Größen nutzen. In diesem Fall wollen wir das Verhältnis von Schneefall in Zentimeter und Zeit in Stunden ausdrücken. Welche Informationen sind gegeben? Wir wissen, dass in einer halben Stunde 30 Zentimeter Schnee fällt. Wie viel Schnee fällt dann in zwei Stunden? Meinhold weiß genau, wie man solch eine Gleichung löst. Er hat dir einen Hinweis im Schnee hinterlassen. Um die gesuchte Größe zu finden, kannst du überkreuz multiplizieren. Verwechsle das übrigens nicht mit dem Kürzen überkreuz, das wiederum hilft dir bei der Multiplikation von Brüchen. Stelle die beiden Produkte wieder als Gleichung dar. 30 * 2 = 60 und 0,5 * x = 0,5x. Um nach x aufzulösen, dividierst du beide Seiten durch 0,5. x = 120, der Neuschnee wird nach zwei Stunden als 120 Zentimeter hoch sein. So ein Pech für Meinhold! Dann stapft er eben einfach schon vorher zu Rezna, damit er es gerade noch schafft, ohne die Regel zu brechen. Er beschließt loszugehen, wenn der Neuschnee genau 100 Zentimeter hoch ist. Doch wann wird das sein? Stellen wir eine neue Verhältnisgleichung auf. Dieses Mal ist die Zeit die gesuchte Größe. Wieder multiplizieren wir überkreuz um zu lösen. Wir erhalten 30x = 0,5 * 100. Wir sehen, Meinhold muss in 1 2/3 Stunden, also in einer Stunde und 40 Minuten losstapfen. Das heißt, er muss sich zwanzig Minuten früher als geplant auf den Weg machen. Endlich ist auch Rezna so weit. Doch Meinhold hat in der Aufregung Regel Nummer sieben vergessen: Zu früh vor der Tür macht einen Eisblock aus dir.
Verhältnisgleichungen lösen Übung
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Berechne mithilfe einer Verhältnisgleichung, wie viel Neuschnee fallen wird.
TippsDu kannst wie folgt über Kreuz multiplizieren:
$ \frac ab = \frac cd ~ \xrightarrow{\text{Multiplikation }\ddot{\text{u}}\text{ber Kreuz}} ~ a\cdot d = c\cdot b$
Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten kannst du so umstellen:
$ \begin{array}{rcll} 5x &=& 3\cdot 10 & \\ 5x &=& 30 & \vert :5 \\ x &=& 6 & \end{array} $
Hinweis: Der Grund, dass das funktioniert ist, dass $5x$ eine Kurzschreibweise für $5\cdot x$ ist. Du wendest demnach durch das Dividieren die Gegenoperation der Multiplikation an.
LösungFolgende Angaben sind uns bekannt:
- Das Date mit der schönen Resna ist in $\mathbf{2}$ Stunden.
- Der angekündigte Schneefall beträgt $\mathbf{30\ \text{cm}}$ pro halbe Stunde.
- Die fünfte Yeti-Regel lautet: Fallen $\mathbf{120\ \text{cm}}$ Schnee, bleibe im Bett und trinke Tee.
Wir legen fest:
- $x$ ist die Höhe des Neuschnees, der in zwei Stunden gefallen sein wird (in Zentimeter).
Um herauszufinden, ob das Date in den Schnee fällt, müssen wir ermitteln, wie viel Neuschnee innerhalb der nächsten zwei Stunden fällt. Dafür stellen wir zunächst eine Verhältnisgleichung für das Verhältnis von Schneefall in $\text{cm}$ und Zeit in $\text{h}$ auf. Wir erhalten:
$\frac{30}{0,5}=\frac{x}{2}$
Um die Unbekannte $x$, also die Höhe des gefallenen Neuschnees in zwei Stunden zu berechnen, multiplizieren wir über Kreuz. Daraus folgt:
$30\cdot 2=x\cdot 0,5$
Jetzt stellen wir diese Gleichung nach $x$ um:
$ \begin{array}{rcll} 30\cdot 2 &=& x\cdot 0,5 & \\ 60 &=& x\cdot 0,5 & \vert :0,5 \\ 120 &=& x & \end{array} $
In zwei Stunden wird also $120\ \text{cm}$ Neuschnee gefallen sein. Demnach würde Meinhold die 5. Yeti-Regel brechen, wenn er in zwei Stunden zu Resna stapfen würde.
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Bestimme, in wie vielen Stunden $100\ \text{cm}$ Schnee gefallen sein wird.
TippsEine Verhältnisgleichung kannst du mittels einer Multiplikation über Kreuz lösen.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$ \begin{array}{rcl} \frac 12 &=&\frac x3 \\ 1\cdot 3 &=& x\cdot 2 \end{array} $
Wenn deine Ausgangsgleichung eine Verhältnisgleichung der Form $\frac ab=\frac xd$ ist, wobei $a$, $b$ und $d$ Zahlen und $x$ eine Variable ist, dann kannst du wie folgt vorgehen:
- Über Kreuz multiplizieren, um die Brüche aufzulösen.
- Resultierende Gleichung nach der Unbekannten $x$ auflösen.
Hier siehst du ein Beispiel für den zweiten Schritt:
$\begin{array}{rcll} 6x & = & 18 & | :6\\ x & = &3 \end{array}$
LösungFolgende Angaben sind uns bekannt:
- Der angekündigte Schneefall beträgt $\mathbf{30\ \text{cm}}$ pro halbe Stunde.
- Die Höhe des gefallenen Neuschnees innerhalb der Zeit von $x$ Stunden beträgt $\mathbf{100\ \text{cm}}$.
Wir legen fest:
- $x$ ist die Zeit, die vergangen sein wird, wenn $100\ \text{cm}$ Neuschnee gefallen ist (in Stunden).
Zunächst wird die Verhältnisgleichung aus dem Verhältnis von Schneefall in Zentimeter und Zeit in Stunden aufgestellt. Diese lautet:
$\frac{30}{0,5}=\frac{100}{x}$
Die darin enthaltene Variable $x$ steht für die gesuchte Zeit, die vergangen sein wird, wenn $100\ \text{cm}$ Schnee gefallen ist. Diese wird nun mittels Multiplikation über Kreuz berechnet:
$30\cdot x=100\cdot 0,5$
Diese Gleichung stellen wir jetzt nach der Variablen $x$ um und erhalten:
$ \begin{array}{rcll} 30\cdot x &=& 100\cdot 0,5 & \\ 30x &=& 50 & \vert :30 \\ x &=& \frac{50}{30} & \\ x &=& \frac 53 & \\ x &=& 1\frac 23 \end{array} $
Meinhold muss demnach in $1\frac 23$ Stunden, also in einer Stunde und $40$ Minuten, zu Resna stapfen.
-
Bestimme jeweils die Gleichung, welche aus der Multiplikation über Kreuz resultiert.
TippsBei der Multiplikation über Kreuz gehst du wie folgt vor:
- Multipliziere den Zähler auf der linken Seite der Verhältnisgleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite der Verhältnisgleichung $\left(\frac ab\searrow\frac cd\right)$ und schreibe das Produkt auf die linke Seite der resultierenden Gleichung.
- Multipliziere den Zähler auf der rechten Seite der Verhältnisgleichung mit dem Nenner auf der linken Seite der Verhältnisgleichung $\left(\frac ab\swarrow\frac cd\right)$ und schreibe das Produkt auf die rechte Seite der resultierenden Gleichung.
Schaue dir dieses Beispiel an:
$\frac 1x=\frac 2x$
Die Multiplikation über Kreuz liefert die Gleichung $1x=2x$.
LösungDie Multiplikation über Kreuz ist ein mathematischer Vorgang, um eine Verhältnisgleichung so umzuformen, dass anschließend keine Brüche oder Bruchterme vorliegen.
Dabei gehst du wie folgt vor:
- Multipliziere den Zähler auf der linken Seite der Verhältnisgleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite der Verhältnisgleichung $\left(\frac ab\searrow\frac cd\right)$ und schreibe das Produkt auf die linke Seite der resultierenden Gleichung.
- Multipliziere den Zähler auf der rechten Seite der Verhältnisgleichung mit dem Nenner auf der linken Seite der Verhältnisgleichung $\left(\frac ab\swarrow\frac cd\right)$ und schreibe das Produkt auf die rechte Seite der resultierenden Gleichung.
Wir erhalten für unsere Beispiele diese Lösungen:
- $\frac x2=\frac 35 \Leftrightarrow 5x=6$
- $\frac 2x=\frac 35 \Leftrightarrow 10=3x$
- $\frac 3x=\frac 27 \Leftrightarrow 21=2x$
- $\frac x3=\frac 27 \Leftrightarrow 7x=6$
-
Ermittle die gesuchte Verhältnisgleichung und löse diese mittels Multiplikation über Kreuz.
TippsBilde folgende Verhältnisse:
- $\frac{\text{Lohn}}{\text{Arbeitsstunden}}$
- $\frac{\text{Anzahl Perlenketten}}{\text{Dauer der Herstellung}}$
Stelle die Verhältnisgleichungen zunächst mittels Multiplikation über Kreuz um. Löse sie anschließend nach der Unbekannten $x$ auf.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$ \begin{array}{rcll} \frac 45 &=& \frac x{10} & \vert \ \text{ Multiplikation }\ddot{\text{u}}\text{ber Kreuz} \\ 40 &=& 5x & \vert :5 \\ 8 &=& x & \end{array} $
LösungHier siehst du die Rechnungen für die beiden Textaufgaben. Um die jeweilige Lösung zu bestimmen, stellen wir Verhältnisgleichungen auf und nutzen die Multiplikation über Kreuz.
Beispiel 1: Jana bekommt für ihren neuen Job als studentische Hilfskraft $24$ Euro für $2$ Arbeitsstunden.
Wie viel Geld bekommt Jana für $60$ Arbeitsstunden?
Wir bilden das Verhältnis von dem Lohn und den dazugehörigen Arbeitsstunden. Somit erhalten wir folgende Verhältnisgleichung:
$\frac{24}{2}=\frac{x}{60}$
Diese stellen wir zunächst mittels Multiplikation über Kreuz um. Anschließend lösen wir die Gleichung nach der Variablen $x$ auf:
$ \begin{array}{rcll} \frac{24}{2} &=& \frac{x}{60} & \\ 1440 &=& 2x & \vert :2 \\ 720 &=& x & \end{array} $
Beispiel 2: Frau Schön stellt Perlenketten her. Sie braucht für die Fertigung einer Perlenkette $1,5$ Stunden.
Wie viele Stunden braucht Frau Schön für die Herstellung von $30$ Perlenketten?
Wir bilden das Verhältnis von der Anzahl hergestellter Perlenketten und der dazugehörigen Herstellungsdauer. Somit erhalten wir folgende Verhältnisgleichung:
$\frac{1}{1,5}=\frac{30}{x}$
Diese stellen wir mittels Multiplikation über Kreuz um und erhalten die Lösung für die Variable $x$:
$ \begin{array}{rcll} \frac{1}{1,5} &=& \frac{30}{x} & \\ x &=& 45 & \end{array} $
-
Gib das Vorgehen bei einer Multiplikation über Kreuz an.
TippsSchaue dir dieses Beispiel an:
$\frac 56=\frac 1x \Leftrightarrow 5x=6$
Du kannst eine Verhältnisgleichung auch wie folgt schrittweise umstellen:
$ \begin{array}{rcll} \frac 56 &=& \frac 1x & \vert\cdot 6 \\ 5 &=& \frac {1~\cdot~6}{x} & \vert\cdot x \\ 5\cdot x &=& 1\cdot 6 & \end{array} $
Das ist auch die Erklärung dafür, warum die Möglichkeit der Über-Kreuz-Multiplikation funktioniert.
LösungBei der Multiplikation über Kreuz gehst du wie folgt vor:
- Multipliziere den Zähler auf der linken Seite der Verhältnisgleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite der Verhältnisgleichung $\left(\frac ab\searrow\frac cd\right)$ und schreibe das Produkt auf die linke Seite der resultierenden Gleichung.
- Multipliziere den Zähler auf der rechten Seite der Verhältnisgleichung mit dem Nenner auf der linken Seite der Verhältnisgleichung $\left(\frac ab\swarrow\frac cd\right)$ und schreibe das Produkt auf die rechte Seite der resultierenden Gleichung.
Somit liefert die Multiplikation über Kreuz für eine allgemeine Verhältnisgleichung der Form $\frac ab=\frac cd$ die Gleichung $a\cdot d=c\cdot b$.
Hier sieht du einige Beispiele:
- $\frac 16=\frac 2x \Leftrightarrow x=12$
- $\frac 27=\frac x3 \Leftrightarrow 6=7x$
- $\frac 19=\frac 1x \Leftrightarrow x=9$
-
Bestimme die gesuchte Zahl.
TippsEinen Term der Form $c(a-b)$ kannst du durch Anwendung des Distributivgesetzes wie folgt auflösen:
$c(a-b)=ca-cb$
Das Verhältnis von $a$ und $b$ wird mathematisch so dargestellt:
$\frac{a}{b}$
LösungWir suchen eine Zahl, für die folgender Zusammenhang gilt:
Die Differenz von der gesuchten Zahl $x$ und $2$ wird mit $4$ ins Verhältnis gesetzt. Dieses Verhältnis entspricht dem Verhältnis von $15$ und $2$.
Nun gehen wir die Beschreibung Schritt für Schritt durch und stellen die entsprechende Gleichung auf:
- Die Differenz von der gesuchten Zahl $x$ und $2$ ergibt ${x-2}$.
- Diese Differenz wird mit $4$ ins Verhältnis gesetzt. Das ergibt ${\frac{(x-2)}{4}}$.
- Dieses Verhältnis entspricht dem Verhältnis von $15$ und $2$. Das führt zu der Gleichung ${\frac{(x-2)}{4}=\frac{15}{2}}$.
Jetzt haben wir die gesuchte Verhältnisgleichung aufgestellt und lösen sie nach $x$ auf. Dafür wenden wir die Multiplikation über Kreuz sowie das Distributivgesetz ($c(a\pm b)=ca\pm cb$) an. Wir erhalten folgende Rechnung:
$ \begin{array}{rcll} \frac{(x-2)}{4} &=& \frac{15}{2} & \\ 2(x-2) &=& 15\cdot 4 & \\ 2x-4 &=& 60 & \vert +4 \\ 2x &=& 64 & \vert :2 \\ x &=& 32 & \end{array} $
Was sind Brüche?
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Brüche und Anteile – Einführung
Brüche und Anteile – Beispiele
Mit Anteil, Bruchteil und Ganzem rechnen – Überblick
Verhältnisse
Verhältnisse erweitern
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Verschiedene Verhältnisse vergleichen
Verhältnisse und Verhältnisgleichungen
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Ich finde dass Video sehr gut erklärt und sogar (positiv gemeint) sehr kurz für so ein kompliziertes Thema.Dass aufjedenfall gute ist dass meine Hausaufgaben jetzt fertig sind und ich dass Thema und den Rechenweg verstanden haben.
Danke für so ein tolles Viedeo
LG
war okay
Ok ok
Uuuuuuuuuuuuuu
ich habe angst vor dieser resna