Brüche vergleichen
Erfahre, wie man Brüche vergleicht, und welche Regeln gelten. Gleichnamige Brüche, gleiche Zähler, unterschiedliche Nenner – alles wird im Text erklärt. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Brüche vergleichen
Brüche vergleichen – Mathematik
In der Mathematik vergleichen wir oft verschiedene Zahlen. Wie können wir nun auch Brüche vergleichen? Um das zu verstehen, überlegen wir zuerst, was es bedeutet, Zahlen zu vergleichen.
Beim Vergleich von Zahlen geht es darum, herauszufinden, welche der beiden Zahlen größer ist und welche kleiner. Der Vergleich kann auch ergeben, dass die beiden Zahlen gleich groß sind. So wie wir Zahlen vergleichen können, wollen wir auch bei zwei verschiedenen Brüchen entscheiden können, welcher der beiden größer oder kleiner ist als der andere. In diesem Text und Video wird verständlich erklärt, was du beim Vergleichen von Brüchen beachten musst.
Brüche vergleichen – gleiche Nenner
Am einfachsten können wir Brüche vergleichen, die denselben Nenner haben – also gleichnamige Brüche. Um zu verstehen, wie wir solche Brüche vergleichen, betrachten wir ein Beispiel:
Zwei gleich große Felder sind jeweils in $12$ gleiche Abschnitte unterteilt. Von dem einen Feld sind bereits $\frac{7}{12}$ abgeerntet, von dem anderen Feld $\frac{6}{12}$. Jeder der Brüche beschreibt einen Anteil des gesamten Feldes.
Der Nenner gibt die Gesamtzahl der Teile des Feldes an. Man kann auch sagen: Der Nenner benennt die Art der Teile. Der Zähler gibt die Anzahl dieser Teile an – er zählt die Teile.
Da die Teile alle gleich groß sind, können wir die Anteile vergleichen: $7$ geerntete Teile sind mehr als $6$ – der Anteil $\frac{7}{12}$ eines gesamten Feldes ist also größer als der Anteil $\frac{6}{12}$. Wir schreiben das als Vergleich der Brüche so auf:
$\frac{7}{12} > \frac{6}{12}$
Zum Vergleich dieser gleichnamigen Brüche mussten wir nur die beiden Zähler vergleichen. Der größere Zähler ergibt in diesem Fall den größeren Bruch. Das halten wir als Regel fest:
- Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler der größere Bruch.
Brüche vergleichen – gleiche Zähler
Statt gleichnamiger Brüche können wir auch solche Brüche direkt vergleichen, bei denen die beiden Zähler gleich sind. Um das zu veranschaulichen, teilen wir die beiden gleich großen Felder verschieden auf, nämlich ein Feld in $9$ gleich große Teile, das andere in $12$ gleich große Teile. Von beiden Feldern sind jeweils $5$ Teile abgeerntet. Das sind bei dem ersten Feld $\frac{5}{9}$, bei dem zweiten Feld $\frac{5}{12}$.
Die Anzahl der Teile ist bei beiden Feld gleich, aber welcher Anteil an dem Feld ist nun größer? Bei dem Feld, das wir in $9$ Teile aufgeteilt haben, ist jeder einzelne Teil größer als bei dem Feld mit $12$ Teilen. Daher ist auch das Fünffache eines solchen größeren Teils größer als das Fünffache des kleineren Teils. Der Anteil $\frac{5}{9}$ des ersten Feldes ist demnach größer als der Anteil $\frac{5}{12}$ des zweiten Feldes. Als Vergleich von Brüchen schreiben wir das so auf:
$\frac{5}{9} > \frac{5}{12}$
Beim Vergleich mussten wir diesmal nur die Nenner vergleichen. Je größer der Nenner ist, desto kleiner ist der einzelne Teil bei der Aufteilung des Feldes und desto kleiner ist der Anteil am gesamten Feld. Wir halten als Regel fest:
- Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere Bruch.
Brüche vergleichen – verschiedene Zähler und Nenner
Wie können wir nun Brüche mit verschiedenen Zählern und Nennern vergleichen? Wir betrachten wieder zwei gleich große Felder, die diesmal verschieden aufgeteilt sind – ein Feld in sieben gleich große Teile, das andere in drei Teile. Wir betrachten von dem einen Feld den Anteil $\frac{3}{7}$, von dem anderen den Anteil $\frac{2}{3}$. Wir können zwar die beiden einzelnen Teile der Felder direkt miteinander vergleichen – also $\frac{1}{7}$ und $\frac{1}{3}$ –, aber nicht die aus verschiedenen Anzahlen dieser Teile gebildeten Anteile $\frac{3}{7}$ und $\frac{2}{3}$.
Durch Erweitern kann man die Brüche gleichnamig machen und dann vergleichen. Wir erweitern jeden der beiden Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen und müssen dann nur noch die Zähler miteinander vergleichen:
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21} < \frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3}$
Nun können wir auch schreiben:
$\frac{3}{7} < \frac{2}{3}$
In den Feldern können wir die Erweiterung der Brüche darstellen, indem wir die Aufteilungen verfeinern von $7$ beziehungsweise $3$ Teilen zu jeweils $21$ Teilen. Nun erkennen wir auch direkt an den Feldern, dass der Anteil $\frac{3}{7}$ kleiner ist als der Anteil $\frac{2}{3}$.
Brüche vergleichen und ordnen
Wenn wir jeweils zwei Brüche miteinander vergleichen können, dann können wir auch drei verschiedene Brüche der Größe nach ordnen. Wir betrachten als Beispiel die Brüche $\frac{7}{3}$ sowie $\frac{17}{24}$ und $\frac{40}{48}$. Die beiden ersten Brüche können wir nicht direkt vergleichen, da sowohl Zähler als auch Nenner verschieden sind. Indem wir aber den Bruch $\frac{7}{3}$ mit $8$ erweitern, erhalten wir ebenfalls den Nenner $24$:
$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{56}{24}$
Nun können wir die beiden ersten Brüche miteinander vergleichen:
$\frac{7}{3} > \frac{17}{24}$
Denn $\frac{7}{3} = \frac{56}{24}$ und $\frac{56}{24} > \frac{17}{24}$.
Den Bruch $\frac{40}{48}$ können wir mit $2$ kürzen und erhalten wieder einen Bruch mit dem Nenner $24$:
$\frac{40}{48} = \frac{\cancel{40}^{20}}{\cancel{48}^{24}} = \frac{20}{24}$
Nun können wir den gekürzten Bruch mit den beiden anderen Brüchen vergleichen. Da alle drei Brüche denselben Nenner haben, genügt es, ihre Zähler zu vergleichen:
$\frac{56}{24} > \frac{20}{24} > \frac{17}{24}$
Also haben wir auch:
$\frac{7}{3} > \frac{40}{48} > \frac{17}{24}$
Brüche vergleichen – Zusammenfassung
Wir fassen die Regeln zum Vergleichen von Brüchen zusammen:
- Bei gleichnamigen Brüchen ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.
- Bei Brüchen mit gleichen Zählern ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.
- Brüche mit verschiedenen Zählern und Nennern können durch Erweitern und Kürzen gleichnamig gemacht und dann verglichen werden.
Willst du nun selbst üben, Brüche zu vergleichen? Hier auf der Seite findest du interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt zum Thema Brüche vergleichen.
Transkript Brüche vergleichen
Kürbis Kalle und seine Nachbarin Salat Sarah streiten sich ständig darum, wer von ihnen schneller bei der Ernte ihrer Felder ist. Damit die beiden Nachbarn wirklich wissen, wer von ihnen den größeren Anteil der Ernte abgeschlossen hat, müssen sie Brüche miteinander vergleichen können. Beide haben gleich große Felder und diese sind jeweils in 12 Abschnitte eingeteilt. Kalle hat schon sieben Abschnitte, also sieben Zwölftel seines Feldes geerntet. Sarah schon sechs Abschnitte, also sechs Zwölftel. Da in beide Brüchen im Nenner zwölf steht, vergleichen wir hier also zwei Brüche mit dem gleichen Nenner. Die Zähler dieser Brüche sind allerdings unterschiedlich. Der Nenner gibt dabei eine Gesamtzahl der Teile an. Der Zähler gibt die Anzahl der geernteten Teile an. Da Kalle sieben Teile geerntet hat und Sarah nur sechs, hat Kalle schon mehr geerntet. Sieben Zwölftel sind also größer als sechs Zwölftel. Vergleichen wir zwei Brüche mit gleichem Nenner, so ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Wie sieht es denn bei Brüchen aus, die gleiche Zähler, aber unterschiedliche Nenner haben? Im Jahr zuvor hatte Kalle sein Feld in neun Teile und Sarah ihr Feld in zwölf Teile aufgeteilt. Als sie da miteinander verglichen hatten, waren bei beiden jeweils 5 Teile der Felder bearbeitet, also Fünf Neuntel und Fünf Zwölftel. Bei dem Feld, welches wir in weniger Teile aufteilen, ist jeder einzelne Anteil natürlich größer! So ist ein Teil in diesem Feld größer als ein Teil in diesem Feld. Daher sind Fünf Neuntel größer als Fünf Zwölftel. Also ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere. Aber wie können wir Brüche denn vergleichen, wenn weder Zähler noch Nenner gleich sind? Was wäre, wenn Kalle sein Feld in 7 Teile aufteilt und Sarah ihr Feld in 3 Teile aufteilt? Kalle hat 3 dieser Teile bearbeitet und Sarah 2. Wir vergleichen also die Brüche drei Siebtel und zwei Drittel. Dabei kann dir das Wissen über Brüche mit gleichen Zählern oder Nennern weiterhelfen. Erweitern wir die Brüche hier so, dass sie den gleichen Nenner erhalten so sehen wir, dass drei Siebtel kleiner als zwei Drittel sind, denn Neun Einundzwanzigstel sind kleiner als Vierzehn einundzwanzigstel. Da wir die Brüche auf den gleichen Nenner gebracht haben, erkennen wir dies an dem größeren Zähler. Stellen wir uns das wieder an den Feldern vor, so teilen wir sie also in 21 Teile ein und sehen ebenfalls, dass bei diesem Feld schon mehr geerntet wurde als bei diesem. Schaffen wir es jetzt wohl auch diese drei Brüche miteinander zu vergleichen? Klar! Schauen wir uns zunächst Sieben Drittel und 17 Vierundzwanzigstel an. Weder der Zähler, noch der Nenner sind hier gleich. Wir können sieben Drittel jedoch mit acht erweitern und erhalten so auch den Nenner 24. Also sind 7 Drittel größer als 17 Vierundzwanzigstel. da 56 größer als 17 ist. Machen wir weiter: 40 Achtundvierzigstel können wir durch zwei kürzen und erhalten ebenfalls eine 24 im Nenner. Wir sehen, dass 20 Vierundzwanzigstel also größer als 17 Vierundzwanzigstel aber kleiner als 56 Vierundzwanzigstel ist. Geschafft! Fassen wir zusammen. Vergleichen wir Brüche mit dem gleichen Nenner, so ist der Zähler entscheidend. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist der größere Bruch. Vergleichen wir Brüche mit gleichem Zähler, so ist der Nenner entscheidend. Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist hier nämlich der größere Bruch. Wollen wir Brüche vergleichen, bei denen Zähler und Nenner unterschiedlich sind, müssen wir zunächst kürzen oder erweitern, um sie auf den gleichen Nenner zu bringen. Dann helfen uns diese beiden Regeln bei der Entscheidung. Kalle kann sich nun also sicher sein, dass er viel mehr als Sarah geerntet hat. Doch, was ist das denn?! Wow! Sarahs Salat ist ja viel schöner als seiner!
Brüche vergleichen Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zum Vergleichen von Brüchen.
TippsGenerell gibt der Nenner eines Bruchs die Anzahl an gleich großen Teilen eines Ganzen an.
Bei Brüchen sind alle Teile gleich groß. Hat ein Bruch einen kleineren Nenner, wurde das Ganze in weniger Teile zerteilt.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Betrachten wir den Anteil eines geernteten Feldes als Bruch, dann gibt der Zähler eine Gesamtzahl der Teile an, in die das Feld aufgeteilt wurde.“
- In diesem Fall beschreibt der Nenner die Gesamtzahl der Teile, in die das Feld aufgeteilt wurde. Generell gibt der Nenner eines Bruchs die Anzahl an gleich großen Teilen eines Ganzen an.
- In diesem Fall kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.
„Betrachten wir den Anteil eines geernteten Feldes als Bruch, dann gibt der Zähler eine Anzahl der Teile an, die schon geerntet wurden.“
- Generell gibt der Zähler eines Bruchs die Anzahl an ausgewählten Teilen eines Ganzen an.
- Bei Brüchen sind alle Teile gleich groß. Ist der Nenner kleiner, wurde das Ganze in weniger Teile zerteilt. Wenn ein Ganzes in weniger Teile zerlegt wird, müssen die einzelnen Teile größer sein.
- Nur so kannst du die Brüche vergleichen.
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Beschreibe das Vorgehen beim Vergleichen von Brüchen.
TippsBetrachtest du zwei Brüche mit gleichem Nenner, kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.
Betrachtest du Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern, solltest du beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen und anschließend die Zähler vergleichen. Den gleichen Nenner erhältst du, indem du die Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweiterst.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Zunächst teilen sie ihre Felder in $12$ gleich große Teile ein. Davon hat Kalle $7$ Teile bereits abgeerntet. Er hat also schon $\frac{7}{12}$ seines Feldes geerntet.
Sarah hat $6$ Teile geerntet. Ihr geernteter Anteil beträgt somit: $\frac{6}{12}$.
Bei diesem Vergleich hat Kalle bereits einen größeren Teil des Feldes geerntet.“
- In diesem Fall kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.
Bei diesem Vergleich hatte Kalle bereits einen größeren Teil des Feldes geerntet.“
- Vergleichst du zwei Brüche mit gleichem Zähler, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere.
$\dfrac{3}{7}=\dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3}= \dfrac{9}{21}$.
Bei Sarah ergibt sich:
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}= \dfrac{14}{21}$.
Hier hatte also Sarah bereits mehr gearbeitet.“
- Betrachtest du Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern, solltest du beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen und anschließend die Zähler vergleichen. Den gleichen Nenner erhältst du, indem du die Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweiterst.
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Vergleiche die jeweiligen Brüche.
TippsDu kannst die Brüche sortieren, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und anschließend die Zähler vergleichst.
Den ersten Bruch kannst du mit $4$ erweitern:
$\dfrac{1}{3}= \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\dots $.
LösungDu kannst die Brüche sortieren, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und anschließend die Zähler vergleichst. Hierzu erweiterst du die Brüche mit entsprechenden Faktoren, indem du Zähler und Nenner mit diesen multiplizierst. Dann erhältst du folgende Reihenfolge:
$\bullet~~\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{4}{12}$
$\bullet~~\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \dfrac{6}{12}$
$\bullet~~\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$
$\bullet~~\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \dfrac{10}{12}$
$\bullet~~\dfrac{11}{12}$
-
Prüfe, welche Brüche größer sind.
TippsSind die Zähler der Brüche gleich, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.
LösungUm herauszufinden, welche Brüche größer sind als $\frac{1}{2 }$, kannst du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen und die Zähler miteinander vergleichen. Sind die Zähler der Brüche gleich, kannst du auch anhand der Nenner entscheiden, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist dann größer. Demnach folgt:
Diese Brüche sind kleiner als $\frac{1}{2}$:
$\bullet~~\dfrac{1}{3 }~\rightarrow~$ Hier kannst du die Nenner vergleichen. $3$ ist größer als $2$, also ist $\dfrac{1}{2 }$ größer.
$\bullet~~\dfrac{5}{12 }~\rightarrow~$ Erweiterst du $\dfrac{1}{2}$ mit $6$, erhältst du $\dfrac{6}{12}$, was größer ist als$\dfrac{5}{12 }$.
$\bullet~~\dfrac{3}{8}~\rightarrow~$ Erweiterst du $\dfrac{1}{2}$ mit $4$, erhältst du $\dfrac{4}{8}$. Das ist größer als $\dfrac{3}{8}$.
Diese Brüche sind größer als $\frac{1}{2}$:
$\bullet~~\dfrac{2}{2}~\rightarrow~$ Hier kannst du direkt die Zähler vergleichen.
$\bullet~~\dfrac{3}{5}~\rightarrow~$ Erweitern wir $\dfrac{3}{5}$ mit $2$, erhalten wir $\dfrac{6}{10}$. Wird $\dfrac{1}{2}$ mit $5$ erweitert, ergibt das $\dfrac{5}{10}$.
-
Gib den Größenvergleich der Brüche an.
TippsUm die Brüche vergleichen zu können, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen. Dazu erweiterst du beispielsweise $\frac{7}{3}$ mit $8$.
Nach dem Erweitern bzw. Kürzen kannst du die Größer-/Kleiner-Zeichen einsetzen, indem du die Zähler vergleichst.
LösungDu kannst die Rechnung folgendermaßen vervollständigen:
Um die Brüche vergleichen zu können, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen. Dazu erweiterst du $\dfrac{7}{3}$ mit $8$. Das ergibt:
$\dfrac{7}{ 3}= \dfrac{7 \cdot 8}{ 3 \cdot 8}=\dfrac{56}{24}$.
Anschließend kürzt du $\dfrac{40}{48}$ mit $2$ und erhältst:
$\dfrac{40}{ 48}= \dfrac{40:2}{ 24:2}=\dfrac{20}{24}$.
Jetzt kannst du die Größer-/Kleiner-Zeichen einsetzen, indem du die Zähler vergleichst.
-
Ermittle, welche Brüche größer sind.
TippsMöchtest du zwei Brüche auf einen Nenner bringen, kannst du sie jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.
Gemischte Brüche kannst du auf einen Nenner bringen, indem du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner des Bruchs erweiterst. Dann addierst du die beiden Zähler. Hier also:
$1 \dfrac{1}{4}=1 +\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4} =\dfrac{5}{4}$.
LösungUm die Brüche zu vergleichen, musst du sie zuerst auf den gleichen Nenner bringen.
Gemischte Brüche kannst du auf einen Nenner bringen, indem du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner des Bruchs erweiterst. Dann addierst du die beiden Zähler. Für die erste Zeile erhältst du:
$1 \dfrac{1}{4}=1 +\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4} =\dfrac{5}{4}$.
Jetzt können wir die beiden Brüche auf einen Nenner bringen, indem wir mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.
$\dfrac{5}{4}=\dfrac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}=\dfrac{15}{12}$
Für den linken Bruch erhalten wir:
$\dfrac{4}{3}= \dfrac{4 \cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{16}{12}$.
Also ergibt sich:
- $\dfrac{4}{3}> 1 \dfrac{1}{4} $.
$\dfrac{6}{8}=\dfrac{6\cdot 20}{8\cdot 20}=\dfrac{120}{160}$
und rechts:
$\dfrac{16}{20}=\dfrac{16\cdot 8}{20\cdot 8}=\dfrac{128}{160}$.
Also erhalten wir:
- $\dfrac{6}{8}<\dfrac{16}{20} $.
$\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \cdot 4}{5 \cdot 2}= \dfrac{4}{10}=0,4$.
Also erhalten wir:
- $0,4=\dfrac{2}{5} $.
$1\dfrac{3}{2}= \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{2}= \dfrac{5}{2}=2 \dfrac{1}{2}$.
Damit erhalten wir:
- $1\dfrac{3}{2} >2. $
$\dfrac{4}{5}= \dfrac{4\cdot 3}{5\cdot 3 }= \dfrac{12}{15}. $
Also:
- $\dfrac{4}{5}= \dfrac{12}{15}. $
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