Lineare Algebra

Was ist lineare Algebra?

Die lineare Algebra ist ein zentrales Teilgebiet der Mathematik, das sich mit sogenannten Vektorräumen und linearen Abbildungen beschäftigt. Konkret bedeutet das, dass sie Beziehungen und Operationen zwischen Vektoren und Matrizen untersucht. Anders als die Analysis, die sich mit Funktionen, Ableitungen und der Integralrechnung befasst, ist die lineare Algebra vor allem auf lineare Zusammenhänge, also insbesondere lineare Gleichungssysteme, ausgelegt.

Grundbegriffe der linearen Algebra – Vektoren und lineare Gleichungssysteme

Grundlegend für die lineare Algebra, wie du sie in der Schule kennenlernst, sind die sogenannten Vektoren, die du dir zunächst wie Pfeile vorstellen kannst. Diese Pfeile haben eine Richtung und Länge. Verortet werden sie z. B. im dreidimensionalen Raum (einem Beispiel für einen Vektorraum) mit $x$,- und $y$- und $z$-Achse.

Entsprechende Vektoren werden mathematisch im Allgemeinen oft so dargestellt:

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix}$$

Jeder dieser drei allgemeinen Einträge bzw. Koordinaten steht für eine konkrete Zahl, ein konkreter Vektor könnte also z. B. so aussehen:

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Eine Matrix wird durch ein ganzes Raster von Zahlen in Zeilen und Spalten angegeben. In der folgenden Abbildung ist der allgemeine Aufbau einer Matrix dargestellt.

Mit vier Zeilen und drei Spalten kann eine konkrete Matrix zum Beispiel so aussehen:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & -8 \\ -2 & 7 & -1 \\ 0 & 9 & 0 \end{pmatrix} $$

Um mit Vektoren und Matrizen umgehen und rechnen zu können, ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen ein grundlegendes Werkzeug. Ein solches lineares Gleichungssystem kann z. B. so aussehen:

$$ \begin{array}{ccc} x + 2y - z &=& 5 \\ 3x - 4y + 5z &=& 6 \\ -2x + 3y -2z &=&-5 \end{array} $$

Um solche Systeme zu lösen, wird beispielsweise das Gauß-Verfahren genutzt.

Lineare Algebra – typische Abituraufgaben

Um fit für dein Abitur in Mathematik zu sein, ist es wichtig, gezielt Aufgaben zur linearen Algebra zu üben. Typische Aufgabenstellungen aus vergangenen Abiturprüfungen sind z. B. (Auswahl):

• Bestimmen von Schnittpunkten zweier Geraden mithilfe von Vektoren
• Ebenengleichungen im Raum aufstellen
• Winkel zwischen Vektoren mit dem Skalarprodukt bestimmen
• Anwendung des Kreuzprodukts (Vektorprodukts)

Lineare Algebra im Alltag – Anwendungen und Beispiele

Die lineare Algebra begegnet dir häufiger, als du denkst. Beispiele für praktische Anwendungen sind:

• Computergrafiken und Animationen
• Wirtschaftliche Modellierungen, z. B. Produktionsprozesse
• Physik, z. B. Kräfteberechnungen
• Informatik, z. B. Datenkompression oder maschinelles Lernen

Grundwissen lineare Algebra – Quiz

Ausblick – das lernst du nach Lineare Algebra

Die lineare Algebra ist ein spannendes Teilgebiet der Mathematik, das eng mit der Analytischen Geometrie verknüpft ist. Viel Spaß beim Entdecken und Lernen!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Algebra