30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spass am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Längenkontraktion 05:08 min

Textversion des Videos

Transkript Längenkontraktion

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus dem Gebiet "Die spezielle Relativitätstheorie" mit der Längenkontraktion beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr unbedingt den Film über die Zeitdilatation gesehen haben. Wir lernen heute, was die Längenkontraktion ist, wie ich ihre Formel herleiten kann und zum Schluss wollen wir das Ganze mal am Beispiel einer Weltraumreise durchrechnen.  Als Längenkontraktion bezeichnet man folgendes Phänomen: Je schneller sich ein Beobachter bewegt, umso kürzer nimmt er die Länge von Objekten in der Bewegungsrichtung wahr. Die Zeitdilatation und die Längenkontraktion - der Begriff kommt übrigens vom lateinischen "contrahere", was so viel wie "zusammenziehen" heißt - sind miteinander verknüpft. Und wie, das sehen wir gleich.  Wir wollen nun die Formel für die Längenkontraktion herleiten und dazu betrachten wir, wie Länge gemessen wird, und zwar durch die Messung einer Zeit, in 2 verschiedenen Systemen. Wir betrachten dazu, wie auch gleich im Beispiel, eine Weltraumreise. Das 1. System, in dem wir messen, ist die Erde. Von einer Rakete wird die Strecke l zurückgelegt. Wie wir im Video über die Zeitdilatation erfahren haben, wird im System der Erde dafür die gedehnte Zeit t' gemessen. Im System der Rakete messen wir die Eigenzeit t, die nicht gedehnt ist. Dafür, so haben wir gerade erfahren, erscheint uns die Länge verkürzt. Wir können also hier schreiben: v=l'/t. Die Relativgeschwindigkeit v ist von beiden Systemen aus gemessen gleich. Das heißt, wir können schreiben: l/t'=l'/t. Aus dem letzten Video kennen wir ja bereits die Formel für die Zeitdilatation: t'=t/\sqrt(1-v2/c2). Dies setzen wir nun für t' ein. Die beiden t's kürzen sich heraus und wir erhalten: l×\sqrt(1-v2/c2)=l'. Ihr seht, je größer die Geschwindigkeit v, desto kleiner wird l'. Das ist also die Formel für die Längenkontraktion. Im letzten Kapitel wollen wir nun das Ganze noch an einem kleinen Beispiel durchrechnen. Nehmen wir an, ein Astronaut will von der Erde zum Saturn reisen. Hier sehr ihr ein nicht ganz maßstabgetreues Bild der ganzen Angelegenheit. Die Entfernung zwischen Erde und Saturn, sagen wir mal, beträgt, 70 Lichtminuten. Und die Geschwindigkeit, mit der unsere Rakete unterwegs ist, soll die Hälfte der Lichtgeschwindigkeit betragen. v ist also 0,5×c. Wir rechnen erst mal um: l beträgt 70 Lichtminuten, ist also 70 × 60s × die Lichtgeschwindigkeit. Und das ergibt 1,26×1012m, also 1,26 Milliarden km. Wir benutzen unsere frisch hergeleitete Formel l'=l×(1-v2/c2). Wenn ich für v 0,5c einsetze, kürzt sich die Lichtgeschwindigkeit heraus und ich erhalte \sqrt(1-½2) und das ist \sqrt(0,75). Und damit spuckt mein Taschenrechner für l'=1,09×1012m aus. Teile ich dieses Ergebnis erst durch 60s und dann durch die Lichtgeschwindigkeit, so erhalte ich, dass das ungefähr 60,6 Lichtminuten entspricht. Ich kann also schreiben: Die Strecke Erde-Saturn erscheint dem Astronauten aufgrund der Längenkontraktion knapp 10 Lichtminuten kürzer als von der Erde aus betrachtet.  Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Je schneller sich ein Beobachter bewegt, umso kürzer nimmt er die Länge von Objekten in der Bewegungsrichtung wahr. Die Längenkontraktion ist mit der Zeitdilatation verknüpft. Ihre Formel kann mit der Formel für t' hergeleitet werden. Bei Bewegung mit der Geschwindigkeit v relativ zur Länge l eines Objektes, verkürzt sich diese für den Betrachter zu l'=l×\sqrt(1-v2/c2).  So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle

1 Kommentar
  1. Ich habe eine kleine Frage zur der in Kapitel 3 gefertigten Rechnung.
    Es heißt im Gesetz:
    "Je länger [...], umso kürzer [...] die Länge von Objekten in Bewegungsrichtung."

    Die Distanz zwischen Erde und Saturn ist in meinem Verständnis weder ein Objekt, noch in irgendeiner Weise gerichtet.
    Wieso kommt dort die Längenkontraktion Zur Geltung?

    Von Varian S., vor fast 7 Jahren

Längenkontraktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Längenkontraktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Parameter, die die Längenkontraktion beeinflussen.

    Tipps

    Wir können eine Länge immer mit $ l = v \cdot t $ berechnen.

    Der Effekt ist erst bei Geschwindigkeiten, die sich der Lichtgeschwindigkeit annähern, erkennbar.

    Lösung

    Die Längenkontraktion ist mit Hilfe der Formel $l' = l \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ berechenbar.

    Dabei ist l die Länge, die ein unbewegter Beobachter einem Objekt zuordnet und l' die kontrahierte, also veränderte Länge. Diese Längenänderung ist umso größer, je schneller die relative Bewegung ist. Für den Fall, dass die Geschwindigkeit der Bewegung gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, also $v = c$, folgt, dass die kontrahierte Länge $l' = 0$ ist. Weiterhin hat natürlich auch die Gesamtlänge Einfluss auf den absoluten Effekt der Kontraktion. Ein Objekt scheint sich also immer mehr zusammenzuziehen, je schneller sein Beobachter ist. Da dieser Effekt erst merklich auftritt, wenn man 10% der Lichtgeschwindigkeit erreicht, können wir ihn im Alltag, etwa bei einer Auto- oder Bahnfahrt, nicht beobachten.

  • Gib an, warum die Längenkontraktion im Alltag nicht zu beobachten ist.

    Tipps

    Lösung

    Die Längenkontraktion berechnet sich nach der Formel :

    $l' = l \cdot \sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}$.

    Sie ist abhängig von der Ausgangslänge $l$, der relativen Geschwindigkeit $v$ und der Lichtgeschwindigkeit $c$ .

    Da $l'$ über den Term $\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}$ direkt mit $l$ zusammenhängt, nimmt $l'$ für sehr große $l$ ebenfalls große Werte an.

    Da jedoch $\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}$ erst für sehr große relative Geschwindigkeiten $v$ von mindestens $v_g = \frac{1}{10} v$ überhaupt relevante Effekte zeigt, muss die Geschwindigkeit sehr groß sein, nämlich $ 3 \cdot 10^6 \frac{m}{s}$ betragen.

    Die dabei auftretende Längenkontraktion $l$ wäre dennoch nur etwa $ l' = 0,995 \cdot l$ und damit die Länge gerade mal um $0,5% $ kontrahiert.

    Du siehst also: Die Geschwindigkeiten des Alltags ( Ein Rennwagen ist höchstens $ v_r =400 \frac{km}{h} $ schnell) sind sehr viel geringer, als die Lichtgeschwindigkeit und es tritt daher keine Längenkontraktion auf.

    Auch sind die Entfernungen auf der Erde so gering, dass die Effekte der Längenkontraktion nicht messbar auftreten. Man müsste Distanzen betrachten, die zwischen den Planeten unseres Sonnensystems bestehen, um tatsächlich messbare Effekte zu erhalten.

  • Gib an, was unter Längenkontraktion zu verstehen ist.

    Tipps

    Relativistische Effekte treten nur bei sehr hohen Geschwindigkeiten auf.

    Kontrahieren bedeutet zusammenziehen.

    Lösung

    Je schneller sich ein Beobachter bewegt, umso kürzer nimmt er die Länge von Objekten in Bewegungsrichtung wahr.

    Die Längenkontraktion ist mit der Zeitdilatation verknüpft und befasst sich mit dem Zusammenziehen der Raumlänge.

    Das können wir schon an der Bezeichnung Längenkontraktion erkennen. Kontrahiert etwas, so zieht es sich zusammen. Hier muss sich also nach dem Wortsinn der Raum zusammenziehen.

    Erkennbare Effekte treten allerdings erst bei sehr großen Geschwindigkeiten auf, sodass wir im Alltag Längenkontraktion nicht beobachten können.

    Erst ab etwa $ \frac{1}{10} \cdot c$ ist dieser Effekt relevant. Für geringere Geschwindigkeiten ist die Abweichung zwischen $l$ und $l'$ so gering, dass diese fast keine Bedeutung haben.

  • Leite die Formel der Längenkontraktion her.

    Tipps

    Ansatz der Herleitung ist die Formel der Zeitdilatation.

    Lösung

    Wir vergleichen zwei Systeme :

    Hier System 1 : Erde und System 2 : Rakete

    Die Indizierung richtet sich nach der festgelegten Nummerierung

    Es ist $v_1 = \frac{l}{t'} $ und $v_2 = \frac{l'}{t}$.

    In Worten ausgedrückt heißt das: Die Geschwindigkeit im System Erde entspricht dem Quotienten aus unkontrahierter Länge und dilatierter Zeit. Die Geschwindigkeit im System Rakete der zusammengezogenen Länge und der ungedehnten Zeit.

    Da der Betrag der relativen Geschwindigkeit bei zwei zueinander bewegten Inertialsystemen für beide Systeme gleich groß sein muss, kommen wir mit dem Ansatz $v_1 = v_2$ zu :

    $\frac{l}{t'} = \frac{l'}{t}$ .

    Mit der Formel für die Zeitdilatation $ t' = \frac{t}{1-\sqrt{\frac{v^2}{c^2}}}$ ergibt sich :

    $ l' = l \cdot {1-\sqrt{\frac{v^2}{c^2}}} $.

    Diese Formel bezeichnet man als die Formel der Längenkontraktion im bewegten System.

  • Ordne die Effekte der Längenkontraktion qualitativ.

    Tipps

    Wir können Längenkontraktion im Alltag nicht beobachten.

    Längenkontraktion tritt erst bei sehr großen Geschwindigkeiten merklich auf.

    Lösung

    Generell gilt : Die Kontraktion der Länge tritt nur für sehr große Geschwindigkeiten auf, also dann, wenn sich die Geschwindigkeit einer relativen Bewegung der Lichtgeschwindigkeit annähert. Selbst für einen Rennwagen, der mit bis zu $110 \frac {m}{s} $ schon sehr schnell unterwegs ist, sind die eintretenden Effekte derart gering, dass es sich nicht lohnt, diese zu betrachten.

    Nach der Formel der Längenkontraktion gilt :

    $ l' = l \cdot {1-\sqrt{\frac{v^2}{c^2}}} $.

    Den Wert der Kontraktion können wir als $\Delta l = l – l' $, also als den Unterschied der Ausgangslänge und der kontrahierten Länge, verstehen. Die Kontraktion der Länge nimmt ihren größten Wert an, wenn die Lichtgeschwindigkeit erreicht ist. Für $v = c $ ergibt sich $l' = 0$ und damit $\Delta l - 0 = l $.

    Es können also dann hohe Werte für die Kontraktion erreicht werden, wenn die Länge $l$ und die Geschwindigkeit $v$ möglichst groß sind. Kaum merkliche, minimale Werte erreichen wir hingegen bei relativ langsamen (Rennwagen) und kleinen Objekten.

  • Berechne die Längenkontraktion.

    Tipps

    Wenn du $v$ als Vielfaches von $c$ verwendest, kannst du die Dezimalbrüche direkt zur Berechnung von $l'$ nutzen.

    Lösung

    Mit der Formel $l' = l \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ können wir die Längenkontraktion berechnen. Wir nehmen die Lichtgeschwindigkeit mit $c = 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} $ an.

    Wir setzen also zunächst die gegebenen Werte für l$l,v,c$ ein. Danach ist es sinnvoll, den Term unter der Wurzel auszuwerten und den Wert der gesamten Wurzel zu berechnen. So können wir abschließend den erhaltenen Wert mit der Länge $l$ multiplizieren und erhalten die kontrahierte Länge $l'$.

    Ein Beispiel :

    Gegeben sind die Länge $l = 82~$ Lichtminuten und die Geschwindigkeit $v = 0,6 c$.

    Zunächst $l$ in $\text{m}$ umrechnen: $l' = 82 \text{Lm} \cdot 60 \frac{\text{s}}{\text{min}} \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} = ...$

    Auswerten des Wurzelterms liefert :

    $\sqrt{1-\frac{0,6^2}{1^2}} = \sqrt{1-\frac{0,36}{1}} = \sqrt{1-0,36}= \sqrt{0,64} = ...$