Relativistische Massenzunahme – ist Masse wirklich relativ? 06:52 min

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Transkript Relativistische Massenzunahme – ist Masse wirklich relativ?

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Heute wollen wir uns mit der relativistischen Massenzunahme aus dem Gebiet der speziellen Relativitätstheorie beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr auf jeden Fall die Filme zur Längenkontraktion und Zeitdilatation gesehen haben. Wir lernen heute: was die relativistische Massenzunahme ist, wo sie herkommt, an einem Beispiel, und wie ich ihre Formel herleiten kann. Als relativistische Massenzunahme bezeichnet man in der speziellen Relativitätstheorie die Regel, nach der die Masse m eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit v wächst. Dabei misst ein relativ zum Körper ruhender Beobachter immer die kleinste Masse m0. Dieses m0 nennt man die Ruhemasse dieses Körpers. Die relativistische Massenzunahme besagt also, dass ein Körper, solange er, von einem Beobachter aus gesehen, nicht mehr ruht, immer schwerer wird, je schneller er wird. Und wie das genau funktionieren soll, dass sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Wir betrachten als Beispiel mal folgenden Vorgang: In einem Crashtest für Raketen schießen wir eine Rakete von der Erde zum Mond. Diese Rakete fliegt mit einer Geschwindigkeit von 1% der Lichtgeschwindigkeit, also 0,01c, von der Erde zum Mond. Das Ganze wird aber nicht nur von der Erde, sondern auch von einem vorbeifliegenden Raumschiff aus betrachtet werden. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs soll dabei 50% der Lichtgeschwindigkeit, also 0,5 c, betragen und seine Bewegungsrichtung soll senkrecht zu der, der Rakete sein. Als Abstand zwischen Erde und Mond setzen wir L=2ls. So, dann schreiben wir uns mal auf, wie ein Beobachter auf der Erde das Ganze wahrnimmt. Die Geschwindigkeit der Rakete ist 0,01c, also 3×106m/s. Der Abstand zwischen Erde und Mond ist 2ls oder 6×108m. Daher braucht unsere Rakete für den Flug die Zeit t=200s. Bei ihrer Ankunft kracht die Rakete in den Mond und richtet dabei einen Schaden an, der von ihrem Impuls abhängt. Der Impuls der Rakete p=m×v. Mit einer Masse von 100000 kg ergibt sich also: P=3×1011 kgm/s. So weit, so gut. Vom Raumschiff aus sieht man nun Folgendes: Da vom Raumschiff aus nur Längen in Bewegungsrichtung verkürzt wahrgenommen werden, verändert sich die Längenkontraktion l nicht. l'=l=2ls. Anders sieht das Ganze für die Zeit t' aus. Durch die Zeitdilatation misst man vom Raumschiff aus eine höhere Zeit t für den Vorgang. Wenn man in die Formel einsetzt: t'=t/\sqrt(1-v²/c2). Vom Raumschiff aus misst man also t'=231s. Da die Geschwindigkeit Weg durch Zeit ist, folgt hieraus: Vom Raumschiff aus wird eine kleinere Geschwindigkeit v' gemessen, als von der Erde aus. Da bei beiden Systemen dieselbe Zerstörung beobachtet wird, müssen die Impulse in den beiden Systemen gleich sein. p'=p und daher kann ich schreiben: m×v=m'×v' und da v' < v ist, muss, damit die Gleichung erfüllt wird, m' > m sein. Wenn ich also von einem relativ bewegten System aus die Masse eines Körpers messe, dann erscheint sie mir vergrößert. Und wir stark genau diese Vergrößerung ist, das wollen wir nun im letzten Kapitel herleiten. Wir benutzen dafür die gerade verwendete Formel, dass der Impuls in beiden Systemen gleich ist. Wir schreiben: p'=p oder m×v=m'×v'. Die Geschwindigkeit v ist der Weg durch die Zeit, also können wir schreiben: m×l/t=m'×l'/t'. Da in unserem Beispiel gerade l'=l war, können wir das l gleich herauskürzen und übrig bleibt m/t=m'/t'. Ich nehme mal t' und erhalte m'=t'/t×m. Nun muss ich nur noch die Formel für die Zeitdilatation einsetzen. t'=t/\sqrt(1-v²/c²). Und damit erhalte ich schon die Formel für die Massenzunahme. Statt m setze ich übrigens gleich m0 ein, denn unser eigenes System soll ja unbewegt sein, in ihm messe ich also die Ruhemasse. m'=m0/\sqrt(1-v²/c²) oder m'=k×m0, wobei k der sogenannte Lorenzfaktor ist. k=1/\sqrt(1-v²/c²). Ihr seht also, die Masse eines Körpers steigt mit seiner Geschwindigkeit, besonders stark, wenn seine Geschwindigkeit an die Lichtgeschwindigkeit herankommt. Links seht ihr ein Diagramm, in dem die Masse in Vielfachen der Ruhemasse gegen die Geschwindigkeit bis zum Höchstwert c aufgetragen ist. Wie ihr seht, überschreitet ein Körper bei knapp über 85% der Lichtgeschwindigkeit das Doppelte seiner Ruhemasse. Und dann steigt die Masse rasant schnell an, je näher ich an c komme. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Misst ein Beobachter die Masse eines relativ zu sich bewegten Körpers, so erhält er ein höheres Ergebnis als die Ruhemasse m0, die ein relativ zum Körper ruhender Beobachter messen würde. Wir haben gesehen, die relativistische Massenzunahme lässt sich über die Zeitdilatation herleiten. Die Formel für die relativistische Massenzunahme ist: m=m0/\sqrt(1-v²/c²) oder =m0×k mit dem Lorenzfaktor k=1/\sqrt(1-v²/c²). So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.  

Relativistische Massenzunahme – ist Masse wirklich relativ? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Relativistische Massenzunahme – ist Masse wirklich relativ? kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Größen zur Berechnung der relativistischen Massenzunahme $m'$ wieder.

    Tipps

    Die Masse eines Körpers wächst mit seiner Geschwindigkeit...welches Formelzeichen besitzt diese Geschwindigkeit im Gegensatz zur ebenfalls in der Formel vertretenden Naturkonstante?

    Ein relativ zum Körper ruhender Beobachter misst die kleinste Masse für diesen Körper. Wie heißt sie?

    Nach wem ist der Faktor $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ benannt?

    Lösung

    Je schneller sich ein Körper bewegt, desto schwerer erscheint er. Die Masse eines Körpers wächst mit seiner Geschwindigkeit $v$. Dieser Effekt wird als relativistische Massenzunahme bezeichnet.

    Ein relativ zum Körper ruhender Beobachter misst die kleinste Masse $m_0$ für diesen Körper. Diese Masse wird Ruhemasse genannt. Je schneller sich der Körper bewegt, desto größer wird seine Masse $m'$ im Vergleich zu seiner Ruhemasse. Diese Masse kann für jede Geschwindigkeit des Körpers unter Zuhilfenahme der Naturkonstante der Lichtgeschwindigkeit $c$ bestimmt werden. Auf diese Weise lässt sich auch der Lorentzfaktor $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ bestimmen.

  • Gib die Formel zur Berechnung der relativistischen Massenzunahme an.

    Tipps

    Prüfe, ob die Formelzeichen richtig gewählt sind und diese im korrekten Verhältnis zueinander stehen.

    Lösung

    Die relativistische Massenzunahme eines Körpers wird mit der gezeigten Formel bestimmt.

    Der komplexe Bruch kann durch Umschreiben der Formel mithilfe des Lorentzfaktors vereinfacht werden:

    $m'=\frac {m_0} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=k\cdot m_0$.

  • Gib die Schritte zur Herleitung der Formel zur Berechnung der relativistischen Massenzunahme $m'$ an.

    Tipps

    Als Ansatz für die Herleitung gilt: Die Impulse des Körpers stimmen bei beiden Beobachtern überein.

    Die Geschwindigkeit eines Körpers kann durch den Ausdruck Weg durch Zeit ersetzt werden.

    Der zurückgelegte Weg des Körpers ist bei beiden Beobachtern gleich groß (keine Längenkontraktion).

    Die Formel wird nach der gesuchten Größe $m'$ umgestellt.

    $t'$ wird durch die Formel für die Zeitdilatation $t'=\frac {t} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ ersetzt.

    Lösung

    (1) Als Ansatz für die Herleitung verwendet man den Zusammenhang: $p=p'$ oder $m\cdot v=m'\cdot v'$. Dieser besagt, dass der Impuls der Rakete gleich groß ist., egal von welchem Beobachter man ausgeht.

    (2) Anschließend wird die Geschwindigkeit auf beiden Seiten der Formel jeweils durch die Größen Weg und Zeit ausgedrückt:

    $\frac {m\cdot l} {t}=\frac {m'\cdot l'} {t'}$.

    (3) Auf beiden Seiten der Formel steht nun die Größe des Weges im Zähler. Sie ist für beide Beobachter gleich, da keine Längenkontraktion auftritt. Somit kann sie herausgekürzt werden:

    $\frac {m} {t}=\frac {m'} {t'}$.

    (4) Anschließend wird die Formel nach der gesuchten Größe, also nach $m'$, umgestellt:

    $m'=m\cdot \frac {t'} {t}$.

    (5) Im letzten Schritt der Herleitung wird die Größe $t'$ durch $t'=\frac {t} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$ (Zeitdilatation) ersetzt und der Bruch gekürzt.

    Somit erhält man die bekannte Formel für die relativistische Massenzunahme. Da es sich bei dem einen Beobachter um einen ruhenden Beobachter handelt, ist die Größe $m$ gleichzeitig die Ruhemasse $m_0$ des Körpers.

  • Erschließe dir, welche Geschwindigkeit im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ein Körper besitzt, bei dem die doppelte Ruhemasse gemessen wird.

    Tipps

    Es soll gelten: $m'=k\cdot m_0=2\cdot m_0$.

    Außerdem ist $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$.

    Umstellen nach $v$ und Einsetzen von $k$ und $c$ liefert die gesuchte Geschwindigkeit.

    $v=\sqrt {c^2\cdot(1-\frac {1} {k^2})}$

    Anschließend muss noch der Anteil dieser Geschwindigkeit an der Lichtgeschwindigkeit berechnet werden.

    Lösung

    Lösungsidee:

    Für den Körper soll gelten: $m'=2\cdot m_0$.

    Somit gilt für den Lorentzfaktor: $k=2=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$.

    Stellt man die Formel für den Lorentzfaktor nach der gesuchten Größe um, so erhält man:

    $k^2=\frac {1} {(1-\frac {v^2} {c^2})}$ (Quadrieren)

    $\frac {v^2} {c^2}=1-\frac {1} {k^2}$ (Umstellen und Multiplizieren mit $-1$)

    $v=\sqrt {c^2\cdot(1-\frac {1} {k^2})}$ (Umstellen und Wurzelziehen).

    Gegeben:

    $k=2$

    $c=300~000\frac {km} {s}$

    Gesucht:

    $v$

    Lösung:

    $v=\sqrt {c^2\cdot(1-\frac {1} {k^2})}=\sqrt {(300~000\frac {km} {s})^2\cdot(1- \frac {1} {2^2})}=\sqrt {(300~000\frac {km} {s})^2\cdot \frac 34}=260~000\frac {km} {s}$

    Antwort:

    Ein Körper mit einer Masse doppelt so hoch wie seine Ruhemasse bewegt sich mit rund 87 % der Lichtgeschwindigkeit.

  • Vergleiche die relativistische Massenzunahme der beiden Objekte.

    Tipps

    Berechne die relativistische Massenzunahme für beide Objekte.

    Lösung

    Wie bereits aus der Formel für die relativistische Massenzunahme erkennbar war, nimmt die Masse eines Körpers mit seiner Geschwindigkeit zu. Je näher die Geschwindigkeit des Körpers an die Lichtgeschwindigkeit herankommt, desto stärker steigt die Zunahme der Masse an.

    Für die relativistische Massenzunahme beider Objekte gilt im Speziellen:

    $m_R'=\frac {m_R} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=\frac {10^6~kg} {\sqrt {1-0,4^2}}=1,09\cdot 10^6~kg$

    $m_E'=\frac {m_E} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=\frac {9,109\cdot 10^{-31}~kg} {\sqrt {1-0,98^2}}=4,58\cdot 10^{-30}~kg$

    Die Masse des Raumschiffs hat sich lediglich um rund 10% erhöht, die Masse des Elektrons aber um rund 500%!

  • Bestimme die Masse der Sonne für das beschriebene Szenario.

    Tipps

    Notiere die gegebenen Größen und die gesuchte Größe.

    Setze die Werte in die Formel für die relativistische Massenzunahme ein.

    Gegeben:

    $m_0=1,988\cdot 10^{30}~kg$

    $v=10~000\frac {km} {s}$

    $c=299~800\frac {km} {s}$

    Lösung:

    $m'=\frac {m_0} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$

    Lösung

    Gegeben:

    $m_0=1,988\cdot 10^{30}~kg$

    $v=10~000\frac {km} {s}$

    $c=299~800\frac {km} {s}$

    Gesucht:

    $m'$

    Lösung:

    $m'=\frac {m_0} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=\frac {1,988\cdot 10^{30}~kg} {\sqrt {1-\frac {(10~000\frac {km} {s})^2} {(299~800\frac {km} {s})^2}}}=1,989\cdot 10^{30}~kg$

    Antwort:

    Die relativistische Massenzunahme der Sonne würde lediglich bei 0,5 Promille liegen. Die Masse der Sonne würde sich bei einer Objektgeschwindigkeit von $10~000\frac {km} {s}$ lediglich von $1,988\cdot 10^{30}~kg$ auf $1,989\cdot 10^{30}~kg$ erhöhen. Dies verwundert jedoch nicht, wenn man bedenkt, dass die Endgeschwindigkeit der Sonne lediglich drei Prozent der Lichtgeschwindigkeit betragen würde.