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Minkowski-Diagramme

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Jakob Köbner
Minkowski-Diagramme
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Minkowski-Diagramme

In diesem Video lernst du die Minkowski-Diagramme kennen, die ein einfacher Weg sind, um relativistische Abläufe anschaulich darzustellen. Das heißt in ihm lassen sich die Zeitdilatation und die Längenkontraktion graphisch darstellen. Ein Minkowski-Diagramm enthält normalerweise mehrere relativ zueinander bewegte Inertialsysteme, und kann mit Hilfe einer Zeit- und einer Ortsachse eindimensionale Bewegungen in diesen Systemen darstellen. Die Regeln zum Zeichnen eines Minkowski-Diagramms werden vorgestellt, und anhand von zwei Beispielen gleich vorgeführt.

Transkript Minkowski-Diagramme

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus der speziellen Relativitätstheorie mit den Minkowski-Diagrammen beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr unbedingt die Filme über die Zeitdilatation und die Längenkontraktion gesehen haben. Wir lernen heute was Minkowski-Diagramme sind und wie ich sie zeichnen kann, ob man auch alle Regeln, die wir bis jetzt in der speziellen Relativitätstheorie kennengelernt haben in ihr nachprüfen kann und wie so ein Minkowski-Diagramm für ein etwas komplizierteres Beispiel, nämlich das Leiter-Paradoxon, aussieht. Die Minkowski-Diagramme wurden, der Name lässt es schon vermuten, 1908 von Hermann Minkowski entwickelt. Links seht ihr ein Bild von ihm. Sie zeigen auf einfache Art die Beschaffenheit von Raum und Zeit nach der speziellen Relativitätstheorie. Das heißt also, ich kann relativistische Vorgänge richtig in ihnen darstellen. Das Interessante am Mikowski-Diagramm ist, dass es mehrere zueinander bewegte Inertialsysteme darstellen kann. Wir zeichnen mal ein einfaches Beispiel und fangen an mit einer Ort- und einer Zeitachse. Also x und t im Winkel von 90° zueinander. Dies ist das System eines ruhenden Beobachters. Also sozusagen unser Eigensystem. Nun kann ich ein 2. Koordinatensystem einzeichnen, dessen Achsen aber jeweils um den Winkel Alpha verschoben sind. Dies sind die Koordinatenachsen des relativ zu unserem Beobachter mit der Geschwindigkeit v bewegten Inertialystems. Je schneller sich das System bewegt, desto größer ist der Winkel Alpha. Die Regel ist: Tangens Alpha=v/c. Zum Schluss wählen wir noch die Zeicheneinheiten so, dass eine Einheit auf der x-Achse einer Lichtsekunde entspricht und eine Einheit auf der t-Achse einer Sekunde. Dann kann ich ein Teilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, einfach mit einem 45°-Winkel einzeichnen. Denn Licht legt ja pro Sekunde eine Lichtsekunde zurück. So weit so gut. Im nächsten Kapitel wollen wir nun überprüfen, ob unsere relativistischen Phänomene z. B. Zeitdilatation und Längenkontraktion in unserem Minkowski-Diagramm auch nachprüfbar sind. Wir zeichnen wieder unsere beiden Koordinatenachsen. In blau einen ruhenden Beobachter und in rot ein relativ dazu bewegtes System. Es soll die Geschwindigkeit v=0,5c haben. Also ist der Winkel Alpha der inverse Tangens von 0,5 und das ist ungefähr 26,6°. So, jetzt noch schnell die Lichtgeschwindigkeit eingezeichnet und schon kann es losgehen. Fangen wir an mit der Zeitdilatation. Beobachtet man die Zeit in einem relativ zu sich bewegten System, so scheint sie dort langsamer zu verstreichen. Gleichzeitig ist für unseren Beobachter alles, was zu einer bestimmten Zeit tB auf einer Parallelen zur x-Achse durch tB liegt. Wir suchen uns also eine beliebige Zeit tB aus, zeichnen durch sie eine Parallele zur x-Achse und messen damit an den beiden Achsen t und t' die Zeit in den beiden Systemen. Wenn wir nun versuchen abzulesen, fällt uns auf, wir haben für das 2., also das rote System, ja noch gar keine Einheiten eingetragen. Wir müssen also erst einmal herausfinden, welcher Abschnitt auf den x'- und t'-Achsen einer Lichtsekunde bzw. einer Sekunde entspricht. Vorsicht, bei diesem Schritt macht man gerne einen Fehler, denn die Abstände sind nicht einfach gleich wie im ruhenden System, man muss sie mit einer Formel ausrechnen. Und diese Formel lautet: e'(für das bewegte System)=e(des ruhenden Systems)×\sqrt(1+v²/c²)/\sqrt(1-v²/c²). In unserem Fall bedeutet das also, die Zeicheneinheiten für die x'- und t'-Achsen sind 1,29 Mal so groß wie die für das ruhende System. Falls ihr wissen möchtet, woher diese Formel kommt, muss ich euch auf das nächste Video vertrösten, in dem wir die rechnerische Version der Minkowski-Diagramme, nämlich die Lorenz-Transformation, durchnehmen. Für das Erste sei einfach nur gesagt, dass wir diese Regel anwenden müssen, damit Zeitdilatation, Längenkontraktion und die anderen relativistischen Effekte stimmen. So, nachdem wir auch diesen letzten vorbereitenden Schritt getan haben, wollen wir aber jetzt endlich überprüfen, ob die Zeitdilatation auch wirklich stimmt. Wir sehen nun, der ruhende Beobachter misst für sein eigenes System eine Zeit von über 4 Sekunden, für das bewegte System aber eine Zeit von unter 4 Sekunden. D. h. die Zeit im bewegten System ist kleiner, scheint also langsamer zu verlaufen. Soweit stimmt also alles. Jetzt schauen wir mal, wie es in der anderen Richtung aussieht. Für den bewegten Beobachter findet alles zur gleichen Zeit tB statt, was auf einer Parallelen zu x'/tB liegt. Die im eigenen System gemessene Zeit tB ist für ihn größer als die Zeit tR' im blauen System. Auch für ihn scheint also die Zeit im anderen System langsamer zu laufen. Die Zeitdilatation stimmt also in beide Richtungen. Falls euch in diesem Schritt der Unterschied größer vorkam, als im letzten, richtig gesehen, ich habe ein wenig ungenau gezeichnet. Die x'- und t'-Zeicheneinheiten sind ein klein wenig kleiner, als sie eigentlich sein sollten. Das ist aber nur eine kleine Ungenauigkeit. Die Effekte lassen sich immer noch richtig sehen. So, die Zeitdilatation ist also abgehakt, weiter zur Längenkontraktion. Wir wollen also nun Längenmessungen in beiden Systemen vergleichen. Dazu suchen wir uns eine Länge lR vom Ursprung aus und zeichnen eine Parallele diesmal zur t-Achse ein. Der Schnittpunkt dieser parallele mit der x'-Achse liefert uns die Länge lB. Wie wir sehen, ist lB kleiner als lR. Im bewegten System scheint die Länge also verkürzt. Für die andere Richtung müssen wir nun Parallelen zur t'-Achse einzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Parallele mit der x-Achse liefert uns lR' und auch hier stellen wir fest, lR' ist kleiner als lB. Auch aus dem bewegten System erscheinen also Längen im ruhenden System kürzer. Die Längenkontraktion lässt sich auch in beide Richtungen zeigen. Zum Schluss wollen wir noch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in beiden Systemen überprüfen. Nehmen wir mal an, ein Teilchen hat sich vom Ursprung aus mit der Geschwindigkeit c nach rechts bewegt, bis zum Punkt x. Wir lesen in beiden Koordinatensystemen die Werte für x und t bzw. x' und t' ab und bilden den Quotienten. Dabei stellen wir fest: Delta x/Delta t=Delta x'/Delta t'. Die Lichtgeschwindigkeit ist also in beiden Systemen gleich hoch. So weit so gut. Nachdem wir nun die Regeln kennen, wollen wir uns im letzten Kapital ein etwas komplizierteres Beispiel, nämlich das sogenannte Leiter- oder Garagen-Paradoxon ansehen. Nehmen wir einmal an, eine Leiter bewegt sich mit einer relativistischen Geschwindigkeit auf eine gleich lange Garage zu. Wir zeichnen das System der Garage blau und das System der Leiter, die die Geschwindigkeit 0,5c haben soll, rot. Damit ist der Winkel zwischen den Achsen also wieder 26,6° und die Zeicheneinheiten des roten Systems sind wieder 1,29 Mal größer, als die Zeicheneinheiten des blauen Systems. Da sich die Garage, die in unserem Beispiel 2 Lichtsekunden lang sein soll, ja nicht bewegt, kann ich ihren Anfang und ihr Ende als über die Zeit konstant einzeichnen. Diese Linien, die für die Position des Garagenanfangs und des Garagenendes stehen, nennt man auch die Weltlinien. Unsere Leiter soll wie gesagt genau so lang sein, und da auch sie sich in ihrem eigenen System nicht bewegt, kann ich im roten System ebenfalls die Weltlinie der Leiter einzeichnen. Wie ihr seht, kann ich die Weltlinien, also die Positionen des Leiteranfangs und des Leiterendes, die im roten System unbewegt sind, im blauen System als Bewegung verstehen. Wir sehen in unserem Diagramm zwei Schnittpunkte. Links passiert das Ende der Leiter den Beginn der Garage und rechts stößt der Anfang der Leiter auf das Ende der Garage. Nun wollen wir die Zeitpunkte, zu denen dies geschieht, in den beiden verschiedenen Systemen messen. Für das blaue System kann ich die Zeit ablesen, indem ich eine Parallele zur x-Achse durch den Schnittpunkt zeichne. Wir erhalten folgendes Ergebnis. t1

Minkowski-Diagramme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Minkowski-Diagramme kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse die wichtigsten Informationen zu den Minkowski-Diagrammen zusammen.

    Tipps

    Was wird in Minkowski-Diagrammen dargestellt?

    Welche Achsen besitzen Minkowski-Diagramme?

    Welche Anforderungen müssen sie erfüllen?

    Lösung

    Minkowski-Diagramme stellen die Bewegung mehrerer Inertialsysteme dar. An ihren Achsen sind für jedes System Ort und Zeit abgetragen. Die Diagramme werden so erstellt, dass in ihnen die relativistischen Phänomene wie Zeitdilatation, Längenkontraktion und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit korrekt darstellbar sind.

    Wie du siehst: Wirklich keine Zauberei. Aber am besten näherst du dich ihnen Schritt für Schritt.

  • Gib an, wie ein Minkowski-Diagramm aufgebaut ist.

    Tipps

    Welches Bezugssystem wird mit einem rechten Winkel zwischen den Achsen eingezeichnet und welches unter dem Winkel $\alpha$ in dieses eingefügt?

    Warum wird die Achseneinteilung an den blauen Achsen wie gezeigt gewählt?

    Welche Besonderheit weist die grüne Linie auf?

    Lösung

    Das Bezugssystem des ruhenden Beobachters wird mit einem rechten Winkel zwischen der x- und der y- Achse eingezeichnet. In der Abbildung ist es blau dargestellt. Das Bezugssystem des bewegten Beobachters wird in das Koordinatensystem des ruhenden Beobachters hineingezeichnet. Hier ist es rot dargestellt.

    Der Winkel $\alpha$ zwischen den Achsen des ruhenden und des bewegten Bezugsystems wird mit der Formel $\tan\alpha=\frac vc$ berechnet und ist hier grau markiert. Er ist somit ein Maß für die Geschwindigkeit $v$ des bewegten Bezugssystems.

    Die Achseneinteilung des ruhenden Bezugsystems, hier lila dargestellt, ist so gewählt, dass die Strecke an der x-Achse in Lichtsekunden angegeben ist und die Zeit an der y-Achse in Sekunden. Ein Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit bewegt sich durch die Wahl der Achseneinteilung auf der grün gefärbten Winkelhalbierenden beider Bezugssysteme.

  • Berechne die Werte, die du im Raketenbeispiel zum Zeichnen des Minkowski-Diagramms benötigst.

    Tipps

    $\alpha=tan^{-1}~(\frac vc)$

    $e'=\frac {\sqrt {1+\frac {v^2} {c^2}}} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$

    Lösung

    Gegeben: $v=0,3~c$

    Gesucht: $\alpha$, $e'$

    Lösung:

    (1) Für den Winkel zwischen den Achsen des bewegten und des ruhenden Bezugssystems gilt der Zusammenhang:

    $\alpha=tan^{-1}~(\frac vc)=tan^{-1}~(\frac {0,3~c} {c})=tan^{-1}~(0,3)=16,70°$.

    (2) Die Achseneinteilung im bewegten Bezugssystem ergibt sich mit:

    $e'=\frac {\sqrt {1+\frac {v^2} {c^2}}} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}=\frac {\sqrt {1+\frac {(0,3~c)^2} {c^2}}} {\sqrt {1-\frac {v^2} {(0,3~c)^2}}}=1,10~e$.

  • Zeichne das Minkowski-Diagramm des Raketenbeispiels.

    Tipps

    Zeichne das Minkowski-Diagramm mit den gegebenen Werten.

    Trage anschließend das Ereignis der Explosion in das ruhende Bezugssystem ein.

    Ermittle die Werte im bewegten Bezugssystem durch das Einzeichnen von Parallelen zu den Achsen dieses Bezugssystems.

    Lösung

    Die Lösung dieser Aufgabe ist im Diagramm dargestellt. Die Achsen des bewegten Bezugssystem sind im Winkel von rund 17° eingetragen, die Achseneinteilung erfolgt über die berechnete Zeicheneinheit e'.

    Dann wird das Ereignis in das ruhende Bezugssystem durch Parallelen zur x- und t- Achse eingezeichnet. Anschließend können die Koordinaten des Ereignisses im bewegten Bezugssystem durch Parallelen zur x'- und t'-Achse abgelesen werden.

    Dabei können die Werte wegen der Zeichenungenauigkeit etwas von den rechnerischen Werten t'=1,8 s und x'=3,1 Ls abweichen.

  • Fasse dein Wissen über die Minkowski-Diagramme zusammen.

    Tipps

    Nur eine Antwort ist richtig.

    Lösung

    Mit Minkowski-Diagrammen lassen sich relativistische (!) Vorgänge einfach darstellen.

    Als Zeichenregeln gelten für den Winkel $\alpha=tan^{-1}(\frac vc)$ (!) und für die Achseneinteilung $e'=\frac {\sqrt {1+\frac {v^2} {c^2}}} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$.

    Alle (!) relativistischen Phänomene, sowohl Zeitdilatation, Längenkontraktion und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, lassen sich in ihnen richtig darstellen.

    Gleichzeitigkeit gilt auf den Linien parallel zur $x-$ oder $x'-$Achse (!), Weltlinien liegen parallel zur $t-$ oder $t'-$Achse (!).

  • Erschließe dir die Ursache für das beschriebene Problem.

    Tipps

    Wie entsteht beim Zeichnen des Minkowski-Diagramms eine Achsenvertauschung?

    Lösung

    Sind die Achsen des bewegten Bezugssystems in einem Minkowski-Diagramm vertauscht, so wurden sie unter einem zu großen Winkel eingetragen.

    Im Minkowski-Diagramm dürfen die Winkel zwischen den Achsen des bewegten Bezugssystems und des ruhenden Bezugssystems nicht größer als $45°$ sein. Und das leuchtet auch ein, wenn du dir die Definition des Winkels anschaust: $tan\alpha=\frac vc$. Bei $\alpha=45°$ beträgt der Tangens Eins, die Relativgeschwindigkeit $v$ ist gleich der Lichtgeschwindigkeit $c$. Größer als Eins darf der Tangens aber nicht werden, dann wäre $v$ größer als $c$. Und diese Obergrenze für die Geschwindigkeit darf nicht überschritten werden.

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