Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Raumzeit und Minkowski-Diagramme

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bereit für eine echte Prüfung?

Das Raumzeit Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Lerntext zum Thema Raumzeit und Minkowski-Diagramme

Die Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

Anfang des letzten Jahrhunderts entwickelte Albert Einstein auf der Grundlage der Vorarbeiten von Henri Pointcaré, Hendrik Antoon Lorentz und anderen Physikern die spezielle Relativitätstheorie. Der Name Relativitätstheorie, der ihr im Nachhinein gegeben wurde, zielt darauf ab, dass sie Beobachtungen in zwei zueinander relativ bewegten Bezugssystemen untersucht und vergleicht. Zum Beispiel könnten zwei Freunde sich die Frage stellen, ob die Ergebnisse eines Versuchs davon abhängen, wo der Versuch ausgeführt wird (in Berlin und in Paris), oder davon, dass sich die Labore relativ zueinander bewegen (auf einem Satelliten oder stationär auf der Erde).

Die Relativitätstheorie vor Einstein

Es gab, ohne dass man sie so nannte, bereits eine Relativitätstheorie vor Einstein, die sogenannte galileische Relativitätstheorie. Sie behauptete, dass die newtonschen Gesetze und damit die Bewegungsgleichungen der Mechanik in allen Laboren, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, gleich aussehen. Genauer und mathematisch ausgedrückt:

Wenn $S$ das Bezugssystem des ersten Labors ist und das zweite Labor sich relativ dazu mit konstanter Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegt, so lautet z. B. die Definition der Kraft in Labor eins ${S: F=m \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}t}}$ und im Bezugssystem $S^\prime$ des zweiten Labors ${S^\prime: F^\prime = m\cdot \frac{\text{d}v^\prime}{\text{d}t^\prime}}$. Das bedeutet, dass das zweite newtonsche Axiom in beiden Bezugssystemen die gleiche Form hat.

Galileisches Relativitätsprinzip und Galilei-Transformationen

Das galileische Relativitätsprinzip behauptet, dass die Gesetze der Mechanik in allen Bezugssystemen die gleiche Form annehmen, die durch Koordinatentransformationen der Art

$\vec{x}^\prime = \vec{x} - \vec{v} t$

$t^\prime = t$

auseinander gewonnen werden können.

Man sagt auch, dass die Gesetze der Mechanik invariant unter den beiden oben sogenannten Galilei-Transformationen sind.

Diese kleine Exkursion in die Geschichte der Physik machen wir deshalb, um ein entscheidendes Detail sichtbar zu machen: Es gibt nicht einfach Gesetze der Physik, sondern hinter der Form, in der die Menschen sie mathematisch formulieren, steckt eine Vorstellung von Raum und Zeit. Im Fall der newtonschen Mechanik beispielsweise die Vorstellung (oder das Vorurteil), dass die Zeit in allen Bezugssystemen gleich ist ($t^\prime = t$).

Einsteins Grundideen

Die große Leistung von Albert Einstein war, zu erkennen, dass sich die Probleme zu Beginn des 20. Jahrhunderts im Zusammenhang mit Licht als elektromagnetischer Welle lösen ließen, wenn man die Vorstellung einer in allen Bezugssystem gleichen Zeit zugunsten einer anderen Konstanz aufgäbe:

Die Lichtgeschwindigkeit $c$ ist in allen Bezugssystemen unabhängig von der Bewegung von Lichtquellen, Empfängern oder Beobachtern gleich.

Damit kam man auf eine wichtige Schlussfolgerung:

Elektromagnetische Wellen wie Licht benötigen kein Medium zur Ausbreitung.

Bis dahin war man von der Äthertheorie ausgegangen, dass sich das Licht in einem Medium – dem sogenannten Äther – ausbreite. Die Existenz des Äthers wurde somit von mehreren Physikern widerlegt, was Albert Einstein in seiner Relativitätstheorie zusammengefasst hat.

Die spezielle Relativitätstheorie Einsteins

Einstein behielt die Forderung bei, dass es eine Klasse von Bezugssystemen geben soll, in denen die physikalischen Gesetze formal gleich sind. Der Wechsel zwischen diesen Bezugssystemen kann dann aber nicht mehr durch die Galilei-Transformationen beschrieben werden, sondern durch eine andere Art von Koordinatenwechsel, dem eine neue Vorstellung von Raum und Zeit entspricht.

Spezielles Relativitätsprinzip und Lorentz-Transformationen

Das Relativitätsprinzip der speziellen Relativitätstheorie behauptet, dass die Gesetze der Mechanik in allen Bezugssystemen die gleiche Form annehmen, die durch Koordinatentransformationen der Art

(1) $x^\prime = \gamma (x - vt)$

(2) $t^\prime = \gamma \left(t-\dfrac{v}{c^2 }x\right)$

auseinander gewonnen werden können, wobei gilt:

$\gamma = \left(1-\dfrac{v^2 }{c^2 }\right)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2 }{c^2 }}}$

Die Größe $\gamma$ steht hier für den Lorentzfaktor, der die Geschwindigkeit $v$ relativistisch zur Lichtgeschwindigkeit $c$ darstellt. Der Einfachheit halber wurde hier der Spezialfall vorausgesetzt, dass sich $S^\prime$ entlang der positiven $x$-Achse von $S$ bewegt und der Ursprung von $S^\prime$ zum Zeitpunkt $t^\prime = 0$ mit dem Ursprung von $S$ zusammenfällt.

Man sagt auch, dass die Gesetze der Mechanik invariant unter den oben sogenannten Lorentz-Transformationen sind.

Die Untersuchung von Koordinatentransformationen, bei denen die Bewegungsgleichungen erhalten bleiben, ist gleichbedeutend mit einer Untersuchung der Vorstellungen von Raum und Zeit, die in die Theoriebildung eingeflossen sind. Deshalb wollen wir jetzt Koordinatentransformationen im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie betrachten und können daraus Schlussfolgerungen über die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie ziehen.

Die Definition der Raumzeit und die Minkowski-Diagramme

An den Gleichungen für die Lorentz-Transformation kannst du sehen, dass die Zeit in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich verläuft – sie ist nicht mehr absolut.

Um die Ereignisse unseres Universums in Relation zueinander beschreiben zu können, wurde das mathematische Konstrukt der Raumzeit entwickelt. Dabei besteht die Raumzeit aus einem vierdimensionalen Koordinatensystem, das aus den drei Raumkoordinaten $(x,y,z)$ besteht, und der Zeitkoordinate $(t)$. Mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit $c$ lässt sich aus jeder Zeitkoordinate $t$ eine Raumkoordinate $ct$ erzeugen, sodass die Raumzeit mit den folgenden Koordinaten definierbar ist: $(x,y,z,ct)$.

Mit dieser mathematischen Konstruktion der Raumzeit lassen sich jedes Ereignis und auch bestimmte Zusammenhänge zwischen diesen Ereignissen in diesem Universum beschreiben.

Da für das menschliche Gehirn ein vierdimensionales Konstrukt nur schwer vorstellbar ist, reden wir vereinfacht anstatt von dem Ortsvektor $\vec{x} = (x,y,z)$ nur von der „einen“ Ortskoordinate $x$, die stellvertretend für alle drei Ortskoordinaten steht.

Zur weiteren Beschreibung von Lorentz-Transformationen hat Hermann Minkowski 1908 das Minkowski-Diagramm entwickelt. In diesem Diagramm werden die Ortskoordinaten auf der $x$-Achse dargestellt und die Zeit $t$ mithilfe des Terms $ct$ auf der $y$-Achse dargestellt. Mit dieser Konstellation lässt sich eine vereinfachte Darstellung der Raumzeit finden, die auch für das menschliche Gehirn vorstellbar ist. So lässt sich beispielsweise die Ausbreitung von Licht mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit $c$ in folgender Gleichung darstellen:

$ct = x$

Diese Gleichung kann als Funktionsgleichung für das Minkowski-Diagramm interpretiert werden, was eine Ursprungsgerade – die sogenannte Lichtgerade – darstellt. Da diese Gleichung den Proportionalitätsfaktor $1$ hat, steht die Lichtgerade zu den Achsen des Minkowski-Diagramms im $45^\circ$-Winkel.

Betrachten wir nun zwei unterschiedliche Bezugssysteme $S$ und $S^\prime$, wobei sich $S^\prime$ relativ zu $S$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ in positiver $x$-Richtung bewegt. Wie würden sich die Koordinaten der jeweiligen Bezugssysteme $(x,ct) \rightarrow (x^\prime,ct^\prime)$ bei einer Lorentz-Transformation im Minkowski-Diagramm verhalten?

Wie sehen in einem Minkowski-Diagramm die Koordinatenachsen eines Bezugssystems $S^\prime$ aus, das sich relativ zur $x$-Achse von $S$ mit konstanter Geschwindigkeit $v$ bewegt?

Schauen wir uns zunächst die Ereignisse auf der $x$-Achse an. Nach der Lorentz-Transformation liegen diese auf der $x^\prime$-Achse, die durch die Gleichung $ct^\prime = 0$ charakterisiert wird. Setzen wir das einmal in Gleichung (2) ein, so erhalten wir

$ct = \dfrac{v}{c}\cdot x$

Das heißt, dass die Koordinaten $x^\prime$ auf einer Geraden liegen, die durch $0$ geht und die Steigung $\tan{\phi} = \dfrac{v}{c}$ hat. Der Neigungswinkel zur $x$-Achse ist wegen der Eigenschaften des Tangens immer $<45^\circ$!

Im Fall der $ct$-Achse wissen wir, dass die $ct^\prime$-Achse durch die Eigenschaft $x^\prime=0$ definiert ist. Gucken wir uns dann die Gleichung (1) der Lorentz-Transformation an, dann erhalten wir:

$ct = \dfrac{c}{v} \cdot x$

Das bedeutet, dass diese Achse genau spiegelsymmetrisch zur $x^\prime$-Achse ist!

Lorentztransformation in der Raumzeit als Minkowski-Diagramm

Die Komponenten $(x,ct)$ eines Punkts $P$ im Bezugssysteme $S$ kannst du wie üblich bestimmen, indem du Linien parallel zu den Koordinatenachsen einzeichnest. Ebenso ist das für das zweite Bezugssystem $S^\prime$, auch hier zeichnest du Linien parallel zu den entsprechenden Koordinatenachsen. Wie im Bild zu sehen ist, hat $P$ dort die Koordinaten $(x^\prime, ct^\prime)$.

Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft

Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, was für Konsequenzen die spezielle Relativitätstheorie für unser Zeitverständnis hat. In der newtonschen Physik bzw. galileischen Relativitätstheorie sind wir von einem Begriff von Zeit ausgegangen, der sich grafisch folgendermaßen fassen lässt.

Zeitverständnis newtonsche Physik als Minkowski-Diagramm

Alle Ereignisse, die im Bezugssystem $S$ unterhalb der $x$-Achse liegen (Punkt 3), gehören der Vergangenheit an. Alle Ereignisse darüber (Punkte 2 und 1) gehören der Zukunft an und alle Ereignisse auf der $x$-Achse finden gleichzeitig mit dem Ereignis $E$ in der Gegenwart zum Zeitpunkt $t=0$ statt.

Gleichzeitigkeit

Aus einer objektiven Perspektive gilt, dass alle Ereignisse, die für den Beobachter in $S$ gleichzeitig stattfinden, auf Geraden liegen, die parallel zur $x$-Achse sind. Da die Zeit in der newtonschen Physik absolut ist, stimmt das ebenfalls für einen Beobachter in einem Bezugssystem $S^\prime$, das sich gleichförmig zu $S$ bewegt: Alles, was für den Beobachter in $S$ gleichzeitig passiert, geschieht auch für den Beobachter in $S^\prime$ gleichzeitig.

Betrachtet man diese beiden Bezugssysteme $S$ und $S^\prime$ in der Raumzeit und im Minkowski-Diagramm, dann sehen wir, dass die gleichzeitigen Ereignisse für das System $S^\prime$ alle parallel zur neuen $x^\prime$-Achse sein müssen. Durch die Lorentz-Transformation werden Raum und Zeit selbst gekrümmt und transformiert, sodass die Phänomene der Zeitdilatation und Längenkontraktion während der Transformationen auftreten können. Die Gleichzeitigkeit von Ereignissen ist nicht mehr absolut gesetzt!

Kausalität, Vergangenheit und Zukunft

Wenn es keine absolute Gleichzeitigkeit mehr gibt, also der Begriff der Gegenwart unklar geworden ist, können wir dann wenigstens noch von Vergangenheit und Zukunft sprechen? Um diese Frage zu beantworten, werden wir nun den Lichtkegel genauer untersuchen. Analog zum Konzept der Lichtgeraden beschreibt der Lichtkegel in der vierdimensionalen Raumzeit die unterschiedlichen Ereignisse, wenn man sich vom Ursprung mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ fortbewegt. Im zweidimensionalen vereinfachten Minkowski-Diagramm lässt sich das so darstellen:

Lichtkegel im Minkowski-Diagramm

Ausgehend von dem gegenwärtigen Ereignis $E$ im Ursprung unterteilt der Lichtkegel das Minkowski-Diagramm in drei Bereiche:

  1. Einen Bereich innerhalb des Kegels in positiver Zeitrichtung. Dieser steht für die Zukunft und alle zukünftigen Ereignisse (z. B. Punkt 1), die vom gegenwärtigen Ereignis $E$ zu erreichen sind.
  2. Einen Bereich innerhalb des Kegels in negativer Zeitrichtung. Dieser Bereich steht für die Vergangenheit und alle vergangenen Ereignisse (z. B. Punkt 3) , die vom gegenwärtigen Ereignis $E$ zurückliegen.
  3. Einen Bereich außerhalb des Kegels. Diese Ereignisse (z. B. Punkt 2) sind vom gegenwärtigen Ereignis $E$ nur mit Überlichtgeschwindigkeit erreichbar, was unmöglich ist.

Mithilfe des Lichtkegels und der Unterteilung in den verschiedenen Bereichen lässt sich im Minkowski-Diagramm eine Kausalität von Ereignissen darstellen. Der Bezugspunkt ist dabei immer das Ereignis $E$, das sich im Ursprung bzw. in der Spitze des Doppelkegels befindet. Dieser stellt die Gegenwart da. Von diesem Punkt aus lässt sich in die Zukunft oder in die Vergangenheit schauen. Liegt ein zweites Ereignis im orangefarbenen oder grünen Bereich, dann lässt sich sagen, dass zwischen den beiden Ereignissen eine Kausalität entstehen kann. Das bedeutet, dass das eine Ereignis das andere hätte beeinflussen können, da sie in der Raumzeit mit einer Geschwindigkeit unter der Lichtgeschwindigkeit erreichbar sind. Für ein Ereignis auf dem Lichtkegel selbst ist das auch der Fall, jedoch müssten diese Ereignisse mit der Lichtgeschwindigkeit verbunden werden, was in unserer Realität bisher nur mit Licht oder anderen elektromagnetischen Signalen möglich ist. Für Ereignisse im gelben Bereich ist es unmöglich, dass das gegenwärtige Ereignis $E$ diese kausal beeinflussen kann, da sie nur mit Überlichtgeschwindigkeit erreichbar sind. Die Kausalität zwischen den beiden Ereignissen lässt sich somit ausschließen.

Raumzeit und Minkowski-Diagramme – Zusammenfassung

  • Die Raumzeit ist ein mathematisches Konstrukt, das die drei Raumkoordinaten $(x,y,z)$ mit der Zeitkoordinate $(t)$ in der vierdimensionalen Raumzeit $(x,y,z,ct)$ zusammenfasst. Mit diesem Konstrukt lässt sich das relativistische Verhalten von Raum und Zeit in den Koordinatentransformationen der Lorentz-Transformationen erhalten. Diese werden durch Minkowski-Diagramm vereinfacht dargestellt.
  • Phänomene der speziellen Relativitätstheorie wie die Zeitdilatation und die Längenkontraktion lassen sich mithilfe der Raumzeit beschreiben.
  • Durch die konstante Lichtgeschwindigkeit entstehen durch die Lichtgerade in zwei Dimensionen bzw. den Lichtkegel in vier Dimensionen Bereiche, die die Zukunft, Vergangenheit und Gegenwart in kausaler Relation zueinander darstellen. Zusätzlich gibt es auch einen Bereich außerhalb des Kegels, der nur mit Überlichtgeschwindigkeit erreichbar ist, sodass keine Kausalitäten zur Gegenwart entstehen können.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Raumzeit und Minkowski-Diagramme

Was ist die Raumzeit?
Was ist die Lorentz-Transformation und wie beeinflusst sie die Zeitmessung in der Relativitätstheorie?
Kann man in der speziellen Relativitätstheorie noch von der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse sprechen?
Teste dein Wissen zum Thema Raumzeit!

1.215.161 Schülerinnen und Schüler haben bereits unsere Übungen absolviert. Direktes Feedback, klare Fortschritte: Finde jetzt heraus, wo du stehst!

Vorschaubild einer Übung

Raumzeit und Minkowski-Diagramme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Raumzeit und Minkowski-Diagramme kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie und wozu man ein Minkowski-Diagramm wie das abgebildete in der Physik verwendet.

    Tipps

    Die klassische Mechanik gilt für die alltäglichen kleinen Geschwindigkeiten, die Relativitätstheorie bei großen Geschwindigkeiten bis hin zur Lichtgeschwindigkeit.

    Wie viele Achsen und somit wie viele Systeme findest du in dem Minkowski-Diagramm dargestellt?

    Welche Eigenschaften kennzeichnen ein Inertialsystem?

    Lösung

    In der klassischen Mechanik wird die Bewegung von Körpern beschrieben, die vergleichsweise geringe Geschwindigkeiten besitzen. Sie ist historisch gesehen ein sehr altes Teilgebiet der Physik, da Untersuchungen mit der zur Verfügung stehenden Technik schon vor Jahrhunderten durchgeführt wurden. Die klassische Mechanik ist somit ein Sonderfall der speziellen Relativitätstheorie, die die Bewegung von Körpern bis hin zur Lichtgeschwindigkeit beschreibt.

    Da sich die Aussagen der speziellen Relativitätstheorie aber unserem direkten Erfahrungsumfeld entziehen, sind sie sehr abstrakt. Minkowski-Diagramme wie das oben abgebildete dienen daher dazu, die spezielle Relativitätstheorie anschaulicher zu machen.

    In dem gezeigten Minkowski-Diagramm werden dabei zwei Inertialsysteme dargestellt. Eines der beiden Systeme mit den Koordinaten S(x, t) ruht dabei, das andere mit den Koordinaten S'(x', t') bewegt sich geradlinig gleichförmig von dem ruhenden System weg. Zum Zeitpunkt t=0 und t'=0 fallen jedoch beide Systeme zusammen.

  • Benenne die Achsen und die besonderen Linien eines Minkowski-Diagramms.

    Tipps

    Inertialsysteme (IS) besitzen in einem Minkowski-Daigramm jeweils zwei Achsen.

    Das ruhende Inertialsystem besitzt eine Winkelhalbierende, eine Gerade parallel zur x-Achse und eine Gerade parallel zur y-Achse.

    Was ist das Besondere an der Winkelhalbierenden. Bedenke die typischen Einheiten der x- und der t-Achse. Welche Größe bleibt bei den beiden anderen Geraden jeweils konstant?

    Lösung

    Wenn du ein Minkowski-Diagramm zeichnest, so beginnst du in der Regel mit den Achsen des ruhenden Inertialsystems (hier grau). Die x-Achse verläuft parallel, die y-Achse steht senkrecht darauf.

    Die Achsen werden so eingeteilt, dass die Winkelhalbierende in diesem Koordinatensystem die Ausbreitung eines Lichtsignals in x-Richtung beschreibt (hier lila): Das Signal legt in jeder Sekunde die Strecke einer Lichtsekunde (etwa $3\cdot 10^5km$) zurück.

    In diesem Bezugssystem liegen alle zeitgleichen Ereignisse auf einer Gerade parallel zur x-Ache (hier blau) und alle ortsgleichen Ereignisse auf einer Geraden parallel zur y-Ache (hier grün).

    Das Achsen des bewegten Bezugssystems (hier rot) werden in das ruhende Bezugssystem mit eingezeichnet. Der Winkel zwischen den beiden Zeit- und den beiden Ortsachsen sowie die Einteilung der Achse des bewegten Bezugsystems ist von der Geschwindigkeit des bewegten Bezugsystems abhängig.

  • Erkläre die Zusammenhänge zwischen den Ereignissen in den gezeigten Diagrammen.

    Tipps

    In welchen Farben sind Zukunft und Vergangenheit dargestellt?

    Wie wird der gelbe Bereich im zweiten Diagramm abgegrenzt?

    Lösung

    In unserer alltäglichen Erfahrung gibt es die Vergangenheit, die durch die Gegenwart von der Zukunft abgegrenzt ist. Alle Ereignisse der Gegenwart können von vergangenen Ereignissen beeinflusst worden sein. Habe ich beispielsweise letzten Abend vergessen, meinen Wecker zu stellen, wache ich möglicherweise zu spät auf. Dieses gegenwärtige Ereignis kann wiederum Ereignisse in der Zukunft beeinflussen. Vielleicht verpasse ich durch das Verschlafen meinen Bus.

    Die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigt die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit. Das Minkowski-Diagramm wird um die Lichtgeraden ergänzt (siehe Abbildung). Dadurch entsteht im Diagramm neben der möglichen Ereignisvergangenheit (grün) und der möglichen Ereigniszukunft (rot) ein weiterer Bereich (gelb). Ereignisse in diesem Bereich können weder E beeinflussen noch von E beeinflusst werden. Um ein Ereignis zu beeinflussen, muss ein Informationsaustausch stattfinden können. Dies ist maximal mit Lichtgeschwindigkeit möglich. Informationen, die beispielsweise ein Lichtsignal aufgrund großer Entfernungen nicht der notwendigen Zeit übertragen kann, haben auf die Handlungen des Empfängers keinen Einfluss.

  • Ermittle die Größen, die zur Darstellung des bewegten Inertialsystems in einem Minkowski-Diagramm benötigt werden.

    Tipps

    $tan\alpha=\frac vc$

    Verwende zur Berechnung die Umkehrfunktion des Tangens auf deinem Taschenrechner. Achte auf die Ausgabe in Grad.

    Lösung

    In dem ruhenden Bezugssystem findet im Punkt P (6 Ls/5 s) ein Ereignis statt (siehe Abbildung). Um die Koordinaten des Ereignisses P in Bezug auf das bewegte Bezugssystem grafisch aus dem Minkowski-Diagramm ablesen zu können, werden folgende Werte bestimmt.

    (1) Für den Winkel zwischen den Achsen im Minkowski-Diagramm ergibt sich:

    $tan\alpha=\frac vc=\frac {0,6c} {c}=0,6$ und somit

    $\alpha=31,0°$.

    (2) Die Achseneinteilung an den Achsen des bewegten Bezugssystems liefert:

    $e'=e\cdot \sqrt {\frac {1+\frac {v^2} {c^2}} {1-\frac {v^2} {c^2}}}=e\cdot \sqrt {\frac {1+0,6^2} {1-0,6^2}}=1,5~e$.

    Mit Hilfe dieser Informationen kann das bewegte Inertialsystem in das Minkowski-Diagramm eingezeichnet werden (rote Achsen - siehe Abbildung). Anschließend können die Koordinaten des Punktes in Bezug auf das bewegte Inertialsystem abgelesen werden: $P(3,7 Ls | 1,8 s)$.

  • Gib an, mit welchen Einheiten die Achsen im Minkowski-Diagramm typischerweise beschriftet sind.

    Tipps

    Verwende die Abkürzungen der deutschen Einheiten.

    Eine Einheit der Ortsachse beschreibt eine Strecke von $3\cdot 10^5km$.

    Lösung

    Im Minkowski-Diagramm wird für gewöhnlich die Ortsachse $x$ oder $x'$ in der Einheit Lichtsekunde $Ls$ beschriftet. Damit ist die Strecke gemeint, die das Licht in einer Sekunde zurücklegt, also etwa $3\cdot 10^5km$. Die Zeitachse $t$ oder $t'$ wird dann in Sekunden $s$ angegeben, also in der gleichen zeitlichen Dimension.

    Dadurch vereinfacht sich beispielsweise die Darstellung der Lichtgerade, die bei richtiger Achseneinteilung einfach als Winkelhalbierende eingezeichnet werden kann. Wichtig ist nur, dass man sich verdeutlicht, dass die Einheit Lichtsekunde eine Strecke beschreibt, obwohl sie eine Zeitangabe enthält.

  • Erschließe dir, welche der folgenden Zusammenhänge in der speziellen Relativitätstheorie auftreten können.

    Tipps

    Welche Rolle spielt die Lichtgeschwindigkeit c in der speziellen Relativitätstheorie?

    Lösung

    Keine Geschwindigkeit ist größer als die Lichtgeschwindigkeit $c$. Dies gilt auch für die Relativgeschwindigkeit $v$ zwischen zwei Inertialsystemen.

    Die Relativgeschwindigkeit $v$ kann somit kein Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit (wie $v=2c$) betragen. Das Verhältnis $\frac vc$ darf daher ebenfalls nicht größer als Eins sein wie im Beispiel $tan\alpha=\frac vc=\frac 54$. Außerdem darf der Winkel $\alpha$ keine Werte über $45$ Grad annehmen, da in diesem Fall die Relativgeschwindigkeit ebenfalls größer als die Lichtgeschwindigkeit wäre.

Bewertung

Ø 5.0 / 4 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
sofatutor Team
Raumzeit und Minkowski-Diagramme
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 7. Klasse
30 Tage kostenlos testen
Mit Spass Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8'906

sofaheld-Level

6'601

vorgefertigte
Vokabeln

7'395

Lernvideos

36'058

Übungen

32'606

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden