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Raumzeit – Denken in vier Dimensionen 13:02 min

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Transkript Raumzeit – Denken in vier Dimensionen

Hallo und herzlich willkommen bei einem Video von Doktor Psi. Unser heutiges Thema sind Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft. Keine Angst, es geht nicht um Geschichte, es geht nur um die Relativitätstheorie. Doch vorab wiederholen wir knapp, was Minkowski-Diagramme in diesem Zusammenhang bedeuten und wie sie zu konstruieren sind. Starten wir also unseren Ausflug in Raum und Zeit nicht mit einem Flux-Kompensator von Doc und Marty, sondern mit einer Betrachtung der Konstruktion von Minkowski-Diagrammen. Du erinnerst Dich sicher an die grafische Darstellung bewegter Objekte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Und aus dem dort oft dargestellten t-x-Verlauf bewegter Objekte können Rückschlüsse auf den entsprechenden Bewegungszustand von diesen Objekten gezeigt werden. Auch in der Relativitätstheorie gibt es analoge Diagramme. Genau das sind x-t-Diagramme, auch Minkowski-Diagramme genannt. Diese Diagramme sind vom deutschen Mathematiker Hermann Minkowski entwickelt worden, um die rein mathematischen und oft unanschaulichen Aussagen der speziellen Relativitätstheorie in geometrischen Modellen verständlicher zu machen. Zur Konstruktion von Minkowski-Diagrammen betrachten wir zwei Inertialsysteme, also räumliche Bezugssysteme, in denen ein kräftefreier Körper in Ruhe oder in geradlinig-gleichförmiger Bewegung verharrt. Wir wollen diese Inertialsysteme mit S(x;t) und S'(x';t') bezeichnen. Die x-Achse hat die Ortseinheit x = 1 Ls ≈ 3 * 105 km. Und die t-Achse hat die Zeiteinheit t = 1 s. Und damit beschreibt die Winkelhalbierende in diesem Diagramm gerade die Ausbreitung eines Lichtsignals in x-Richtung. Und wir bezeichnen diese Winkelhalbierende oft auch als Lichtgerade. Und die Bewegung von Objekten in diesem Koordinatensystem heißen dann Weltlinien. Wir sehen hier die Darstellung einmal von zeitgleichen Ereignissen. Das siehst Du in diesem System S durch diese blaue Gerade. Und die grüne Gerade zeigt uns ortsgleiche Ereignisse in diesem System an. Allgemein werden Ereignisse in S und S' durch einen Punkt dargestellt und zur Zeit t' = t0 sollen beide Systeme zusammenfallen. Nun wir haben hier in diesem Diagramm einmal ein Ereignis P dargestellt und das soll lokalisiert werden. Und dazu werden jeweils Parallelen zu den Achsen der entsprechenden Systeme eingezeichnet. Hier sehen wir einmal die Koordinaten von P im System S und diese Koordinaten können abgelesen werden. Das sind also P(4;3). Und nun bewege sich S' mit v = c/4, also mit einem Viertel der Lichtgeschwindigkeit relativ zu S. Die Frage ist dann, welche Koordinaten hat P in unserem bewegten System S'. Wir hatten gesagt, die Geschwindigkeit, mit dem sich das System bewegt, sei c/4, also ist Beta = v/c = ¼ und wenn wir die entsprechende Formel, die hier benutzt wird, hernehmen und uns mal den Winkel der Achsen von unserem System S' anschauen, dann haben wir tan Alpha = 0,25. Und daraus ergibt sich ein Winkel Alpha ≈ 14°. Und das sehen wir in unserem Koordinatensystem, die Achsen x' und t' sind jeweils zu den Achsen des S-Systems mit 14° einzuzeichnen. Außerdem sehen wir wieder die Lichtgerade und unseren Punkt P. Nun benötigen wir noch die Einheiten auf den Achsen unseres gestrichenen Koordinatensystems. Und die Formel, die wir benutzen, steht hier, e', das sind die Einheiten im gestrichenen Koordinatensystem: e' = e* Wurzel ((1+Beta 2) / (1-Beta 2); wobei Beta = v/c ist. Und wenn wir die entsprechenden Werte, die wir hier gegeben haben, einsetzen, dann erhalten wir für e' ≈ 1,1. Und wenn wir das in unser Koordinatensystem einzeichnen, dann können wir unsere Koordinaten im gestrichenen System ablesen: P(3,3 Ls;2 s). Soweit also einige Anmerkungen zur Konstruktion und Bedeutung von Minkowski-Diagrammen. Kommen wir nun zu unserem nächsten Thema. Wir haben die Minkowski-Diagramme als eine Methode kennengelernt, die oft abstrakten Elemente der speziellen Relativitätstheorie etwas anschaulicher zu gestalten. Wir kommen gleich noch einmal darauf zurück. Werfen wir zuerst einen Blick auf unser Verständnis von Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft, so wie wir es im Alltag ohne Relativitätstheorie betrachten. Wir haben hier eine grafische Darstellung, die das etwas verdeutlichen soll. Nehmen wir ein Ereignis E an. Klassisch betrachtet bilden alle Ereignisse oberhalb der x-Achse die Zukunft. Klar, E kann alles oberhalb der Achse beeinflussen. Andererseits könnte das Ereignis E durch Ereignisse unterhalb der x-Achse beeinflusst worden sein, daher stellen diese Ereignisse unterhalb der x-Achse die Vergangenheit dar. Die x-Achse selber, das sind Ereignisse die gleichzeitig mit E stattfinden und dies bildet somit die Gegenwart. Kommen wir nun zur obersten Grenze aller Geschwindigkeiten, der Lichtgeschwindigkeit. Hier noch eine knappe Erklärung in einem Minkowski-Diagramm, das uns verdeutlichen soll, warum aus unserer Sicht die Lichtgeschwindigkeit die oberste Grenze ist. Wir haben hier einfach noch einmal ein System aufgezeichnet, das ruht. Also zwei Inertialsysteme, eins bewegt sich, eins ruht. Und wir sehen hier die t-Achse und dort den Punkt A. Von dem Punkt A geht ein Signal, nehmen wir an mit Überlichtgeschwindigkeit in das gestrichene System und kommt am Punkt B an. Vom Punkt B wird sofort mit derselben Geschwindigkeit geantwortet. Und wir sehen den Verlauf dieses Signals. Das ist eine Parallele zur entsprechenden x-Achse oder x'-Achse im gestrichenen System. Nun, wo kommt das Signal an? Bei A'. Und was sehen wir? A bedeutet Signal abgesendet, A' Ankunft. Die Ankunft ist, bevor das Signal überhaupt abgeschickt wurde. Das widerspricht unserer Erfahrung. Das geht nicht. Also ist eine Geschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit nicht möglich. Nun kommen wir zur relativistischen Vorstellung von Zeit, von unseren Begriffen wie Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft. Wir betrachten wieder ein Ereignis E und sehen, dass wir dort die Lichtgeraden eingezeichnet haben. Und diese Lichtgeraden bilden, wenn wir jetzt mal uns oberhalb von der x-Achse orientieren, einen 90°-Winkel. Übrigens, wenn wir das Ganze dreidimensional betrachten, sehen wir oben einen Kegel und unten einen Kegel. Wir betrachten das aber hier nur in unseren zwei Dimensionen. Alles was oberhalb der x-Achse in dem 90°-Kegel ist, stellt die Ereignisse dar, die von E beeinflusst werden können. Also das ist die Zukunft. Und der Kegel oder der 90°-Winkel, der unterhalb der x-Achse eingegrenzt wird, auch von einem 90°-Winkel, das sind Ereignisse, die E beeinflusst haben können. Und das ist die Vergangenheit. Und alle Ereignisse außerhalb der beiden Bereiche, der 90°-Winkel, die wir gesehen haben, können weder E beeinflussen noch von E beeinflusst werden. Jedes dieser Ereignisse ist jedoch in einem bestimmten Bezugssystem gleichzeitig zu E. Und daher ist es sinnvoll, diese Ereignisse als Gegenwart von E zu bezeichnen. Ja, vergleichen wir unsere Bilder, so wird ersichtlich, dass aus Einsteins Raum-Zeit-Postulaten folgt, dass Raum und Zeit als Formen der Existenz von Materie mit der Bewegung verbunden sind. Ändert sich die Bewegung, so zieht dies eine Änderung von Raum und Zeit nach sich. Wenn wir weiter darüber nachdenken, wie Raum und Zeit zueinanderstehen, dass sie relativ sind. Die Zeit ist also nicht mehr absolut, so wie sie noch unter Newton verstanden wurde. Wenn wir weiter darüber nachdenken, so wird es sofort philosophisch, denn die Lichtgeschwindigkeit ist für uns praktisch nicht zu erreichen. Wir können also darüber nur mit Hilfe unseres physikalischen Verständnisses nachdenken. Und wenn wir hierüber weiterreden sollten, so werden wir Raum und Zeit unserer kleinen Veranstaltung hier sprengen. Es reicht nicht aus, dass wir hier näher darüber nachdenken. Ich hoffe, Du hast ein wenig verstanden, wie Raum-Zeit-Vorstellung klassisch und relativistisch zu verstehen sind. Und vielleicht hast Du auch ein bisschen Spaß an diesen Überlegungen. Und wir sehen uns möglicherweise bei einem Video von Doktor Psi. Tschüss.

Raumzeit – Denken in vier Dimensionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Raumzeit – Denken in vier Dimensionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie und wozu man ein Minkowski-Diagramm wie das abgebildete in der Physik verwendet.

    Tipps

    Die klassische Mechanik gilt für die alltäglichen kleinen Geschwindigkeiten, die Relativitätstheorie bei großen Geschwindigkeiten bis hin zur Lichtgeschwindigkeit.

    Wie viele Achsen und somit wie viele Systeme findest du in dem Minkowski-Diagramm dargestellt?

    Welche Eigenschaften kennzeichnen ein Inertialsystem?

    Lösung

    In der klassischen Mechanik wird die Bewegung von Körpern beschrieben, die vergleichsweise geringe Geschwindigkeiten besitzen. Sie ist historisch gesehen ein sehr altes Teilgebiet der Physik, da Untersuchungen mit der zur Verfügung stehenden Technik schon vor Jahrhunderten durchgeführt wurden. Die klassische Mechanik ist somit ein Sonderfall der speziellen Relativitätstheorie, die die Bewegung von Körpern bis hin zur Lichtgeschwindigkeit beschreibt.

    Da sich die Aussagen der speziellen Relativitätstheorie aber unserem direkten Erfahrungsumfeld entziehen, sind sie sehr abstrakt. Minkowski-Diagramme wie das oben abgebildete dienen daher dazu, die spezielle Relativitätstheorie anschaulicher zu machen.

    In dem gezeigten Minkowski-Diagramm werden dabei zwei Inertialsysteme dargestellt. Eines der beiden Systeme mit den Koordinaten S(x, t) ruht dabei, das andere mit den Koordinaten S'(x', t') bewegt sich geradlinig gleichförmig von dem ruhenden System weg. Zum Zeitpunkt t=0 und t'=0 fallen jedoch beide Systeme zusammen.

  • Gib an, mit welchen Einheiten die Achsen im Minkowski-Diagramm typischerweise beschriftet sind.

    Tipps

    Verwende die Abkürzungen der deutschen Einheiten.

    Eine Einheit der Ortsachse beschreibt eine Strecke von $3\cdot 10^5km$.

    Lösung

    Im Minkowski-Diagramm wird für gewöhnlich die Ortsachse $x$ oder $x'$ in der Einheit Lichtsekunde $Ls$ beschriftet. Damit ist die Strecke gemeint, die das Licht in einer Sekunde zurücklegt, also etwa $3\cdot 10^5km$. Die Zeitachse $t$ oder $t'$ wird dann in Sekunden $s$ angegeben, also in der gleichen zeitlichen Dimension.

    Dadurch vereinfacht sich beispielsweise die Darstellung der Lichtgerade, die bei richtiger Achseneinteilung einfach als Winkelhalbierende eingezeichnet werden kann. Wichtig ist nur, dass man sich verdeutlicht, dass die Einheit Lichtsekunde eine Strecke beschreibt, obwohl sie eine Zeitangabe enthält.

  • Benenne die Achsen und die besonderen Linien eines Minkowski-Diagramms.

    Tipps

    Inertialsysteme (IS) besitzen in einem Minkowski-Daigramm jeweils zwei Achsen.

    Das ruhende Inertialsystem besitzt eine Winkelhalbierende, eine Gerade parallel zur x-Achse und eine Gerade parallel zur y-Achse.

    Was ist das Besondere an der Winkelhalbierenden. Bedenke die typischen Einheiten der x- und der t-Achse. Welche Größe bleibt bei den beiden anderen Geraden jeweils konstant?

    Lösung

    Wenn du ein Minkowski-Diagramm zeichnest, so beginnst du in der Regel mit den Achsen des ruhenden Inertialsystems (hier grau). Die x-Achse verläuft parallel, die y-Achse steht senkrecht darauf.

    Die Achsen werden so eingeteilt, dass die Winkelhalbierende in diesem Koordinatensystem die Ausbreitung eines Lichtsignals in x-Richtung beschreibt (hier lila): Das Signal legt in jeder Sekunde die Strecke einer Lichtsekunde (etwa $3\cdot 10^5km$) zurück.

    In diesem Bezugssystem liegen alle zeitgleichen Ereignisse auf einer Gerade parallel zur x-Ache (hier blau) und alle ortsgleichen Ereignisse auf einer Geraden parallel zur y-Ache (hier grün).

    Das Achsen des bewegten Bezugssystems (hier rot) werden in das ruhende Bezugssystem mit eingezeichnet. Der Winkel zwischen den beiden Zeit- und den beiden Ortsachsen sowie die Einteilung der Achse des bewegten Bezugsystems ist von der Geschwindigkeit des bewegten Bezugsystems abhängig.

  • Erschließe dir, welche der folgenden Zusammenhänge in der speziellen Relativitätstheorie auftreten können.

    Tipps

    Welche Rolle spielt die Lichtgeschwindigkeit c in der speziellen Relativitätstheorie?

    Lösung

    Keine Geschwindigkeit ist größer als die Lichtgeschwindigkeit $c$. Dies gilt auch für die Relativgeschwindigkeit $v$ zwischen zwei Inertialsystemen.

    Die Relativgeschwindigkeit $v$ kann somit kein Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit (wie $v=2c$) betragen. Das Verhältnis $\frac vc$ darf daher ebenfalls nicht größer als Eins sein wie im Beispiel $tan\alpha=\frac vc=\frac 54$. Außerdem darf der Winkel $\alpha$ keine Werte über $45$ Grad annehmen, da in diesem Fall die Relativgeschwindigkeit ebenfalls größer als die Lichtgeschwindigkeit wäre.

  • Erkläre die Zusammenhänge zwischen den Ereignissen in den gezeigten Diagrammen.

    Tipps

    In welchen Farben sind Zukunft und Vergangenheit dargestellt?

    Wie wird der gelbe Bereich im zweiten Diagramm abgegrenzt?

    Lösung

    In unserer alltäglichen Erfahrung gibt es die Vergangenheit, die durch die Gegenwart von der Zukunft abgegrenzt ist. Alle Ereignisse der Gegenwart können von vergangenen Ereignissen beeinflusst worden sein. Habe ich beispielsweise letzten Abend vergessen, meinen Wecker zu stellen, wache ich möglicherweise zu spät auf. Dieses gegenwärtige Ereignis kann wiederum Ereignisse in der Zukunft beeinflussen. Vielleicht verpasse ich durch das Verschlafen meinen Bus.

    Die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigt die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit. Das Minkowski-Diagramm wird um die Lichtgeraden ergänzt (siehe Abbildung). Dadurch entsteht im Diagramm neben der möglichen Ereignisvergangenheit (grün) und der möglichen Ereigniszukunft (rot) ein weiterer Bereich (gelb). Ereignisse in diesem Bereich können weder E beeinflussen noch von E beeinflusst werden. Um ein Ereignis zu beeinflussen, muss ein Informationsaustausch stattfinden können. Dies ist maximal mit Lichtgeschwindigkeit möglich. Informationen, die beispielsweise ein Lichtsignal aufgrund großer Entfernungen nicht der notwendigen Zeit übertragen kann, haben auf die Handlungen des Empfängers keinen Einfluss.

  • Ermittle die Größen, die zur Darstellung des bewegten Inertialsystems in einem Minkowski-Diagramm benötigt werden.

    Tipps

    $tan\alpha=\frac vc$

    Verwende zur Berechnung die Umkehrfunktion des Tangens auf deinem Taschenrechner. Achte auf die Ausgabe in Grad.

    Lösung

    In dem ruhenden Bezugssystem findet im Punkt P (6 Ls/5 s) ein Ereignis statt (siehe Abbildung). Um die Koordinaten des Ereignisses P in Bezug auf das bewegte Bezugssystem grafisch aus dem Minkowski-Diagramm ablesen zu können, werden folgende Werte bestimmt.

    (1) Für den Winkel zwischen den Achsen im Minkowski-Diagramm ergibt sich:

    $tan\alpha=\frac vc=\frac {0,6c} {c}=0,6$ und somit

    $\alpha=31,0°$.

    (2) Die Achseneinteilung an den Achsen des bewegten Bezugssystems liefert:

    $e'=e\cdot \sqrt {\frac {1+\frac {v^2} {c^2}} {1-\frac {v^2} {c^2}}}=e\cdot \sqrt {\frac {1+0,6^2} {1-0,6^2}}=1,5~e$.

    Mit Hilfe dieser Informationen kann das bewegte Inertialsystem in das Minkowski-Diagramm eingezeichnet werden (rote Achsen - siehe Abbildung). Anschließend können die Koordinaten des Punktes in Bezug auf das bewegte Inertialsystem abgelesen werden: $P(3,7 Ls | 1,8 s)$.