Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung

Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung Übung

• Erkläre, was beim Kürzen und beim Erweitern von Brüchen beachtet werden muss.

  Tipps

  Der Zähler steht über dem Bruchstrich.

  Man kann auch sagen: Der Zähler zählt die Anzahl an Anteilen des Ganzen.

  Merke dir: Beim Kürzen werden der Zähler und der Nenner kleiner.

  Lösung

  Teilt man ein Ganzes in beispielsweise vier gleich große Teile und betrachtet davon einen Anteil, so erhält man einen Bruch, der folgendermaßen aussehen kann: $\frac{1}{4}$. Die Zahl unter dem Bruchstrich nennt man Nenner. Er gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Die Zahl, die auf dem Bruchstrich steht, nennt man Zähler. Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an, die betrachtet werden.

  Möchte man einen Bruch erweitern, damit die Teile des Ganzen vermehrt werden, so multipliziert man Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert und die Einteilung des Ganzen wird verringert.

• Gib die Zahl an, mit der erweitert oder gekürzt wurde.

  Tipps

  Erweitern bedeutet, dass der Zähler und der Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden.

  Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert.

  Betrachte beispielsweise die Zähler einer Aufgabe und bilde dann die Umkehraufgabe.

  Die Umkehraufgabe von $5 \cdot~? = 20$ ist $20 : 5 =~?$.

  Somit erhältst du den Faktor, mit dem erweitert wurde.

  Lösung

  Möchten wir einen Bruch erweitern, so müssen wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Beim Kürzen dividieren wir Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

  Wir beginnen mit der ersten Aufgabe $\frac{5~\cdot ~?}{7~\cdot ~?} = \frac{20}{28}$ und betrachten nur die Zähler:

  $5 \cdot~? = 20$.

  Nun bilden wir die Umkehraufgabe:

  $20 : 5 =4$.

  Somit wurde der Bruch $\frac{5}{7}$ mit $4$ erweitert, da $\frac{5}{7} \cdot \frac{4}{4} = \frac{20}{28}$ ergibt.

  Um von $\frac{4}{5}$ auf $\frac{20}{25}$ zu kommen, muss der Bruch mit $5$ erweitert werden, denn

  $4 \cdot 5 = 20$ (Zähler) und $5 \cdot 5= 25$ (Nenner).

  Kürzt man $\frac{18}{24}$ durch $2$, so erhält man $\frac{9}{12}$, denn

  $18 : 2 = 9$ und $24 : 2 = 12$.

  Mit welcher Zahl muss man $\frac{9}{12}$ kürzen, um $\frac{3}{4}$ zu erhalten? Wir betrachten nur die Zähler mit

  $9 : ~ ? = 3$.

  Wir erkennen, dass die gesuchte Zahl $3$ sein muss, weil

  $3 \cdot 3 = 9$.

• Erkläre, wie du Brüche mit $6$ erweitern kannst.

  Tipps

  Brüche stellen Teile eines Ganzen dar.

  Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

  Lösung

  Möchte man einen Bruch erweitern, so müssen Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Lediglich die Einteilung wird verfeinert.

  Hat man zum Beispiel den Bruch $\frac{4}{6}$, so ist ein Ganzes in $6$ gleich große Teile geteilt. $4$ von diesen Teilen werden gezählt.

  Das könnte man auch mit einer Pizza verdeutlichen. Eine Pizza ist ein Ganzes. Diese Pizza teilt man in $6$ gleich große Teile, $4$ von diesen Teilen sind dabei mit extra viel Käse belegt.

  Erweitert man den Bruch $\frac{4}{6}$ mit der Zahl $6$, so muss man Zähler und Nenner mit $6$ multiplizieren. Man erhält also $\frac{24}{36}$.

  Was bedeutet das nun für die Pizza? Sie wird nicht in $6$ gleich große Teile geteilt, sondern in $36$ gleich große Teile. Nun sind auch nicht mehr $4$ Teile davon mit extra viel Käse belegt, sondern $24$. Die Anzahl der gesamten Teile hat sich versechsfacht und auch die Teile mit extra viel Käse. Die Pizza hat weiterhin dieselbe Größe, doch die einzelnen Teile der Pizza sind nun kleiner.

• Gib an, mit welcher Zahl gekürzt wurde.

  Tipps

  Kürzen kann man nur dann, wenn Zähler und Nenner den gleichen Teiler haben.

  Man darf nicht mit Null kürzen.

  Lösung

  Möchte man einen Bruch kürzen, so müssen Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl dividiert werden. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Lediglich die Einteilung wird vergröbert. Hat man zum Beispiel einen Bruch von $\frac{3}{6}$, so ist ein Ganzes in $6$ gleich große Teile geteilt. $3$ von diesen Teilen werden gezählt.

  Dies könnte mit einer Pizza verdeutlicht werden. Eine Pizza ist ein Ganzes. Diese Pizza ist in $6$ gleich große Teile aufgeteilt, $3$ von diesen Teilen sind dabei mit extra viel Käse belegt. Kürzt man den Bruch $\frac{3}{6}$ mit der Zahl $3$, so muss man beide Zahlen durch $3$ dividieren. Man erhält $\frac{1}{2}$ als Ergebnis, denn $3 : 3 = 1$ und $6 : 3 = 2$. Für die so eben genannte Pizza bedeutet das, dass sich die Einteilung vergröbert. Sie besteht jetzt nicht mehr aus 6 gleich großen Teilen, sondern aus $2$. Mit extra viel Käse sind nun auch nicht mehr $3$ Teile belegt, sondern $1$ von den $2$ Teilen. Die Pizza hat weiterhin dieselbe Größe, nur die einzelnen Teile sind größer geworden und haben sich in der Anzahl verringert.

• Bestimme, welche Bruchzahl jeweils in den Diagrammen gezeigt wird.

  Tipps

  Achte auf die verschiedenen Einteilungen der Kreise.

  Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an, die betrachtet werden.

  Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes unterteilt wird.

  Der Nenner steht unter dem Bruchstrich.

  Lösung

  • Der Kreis auf dem ersten Bild ist in drei gleich große Teile geteilt. Von diesen drei Teilen sind zwei farbig hinterlegt. Stellt man sich vor, dass der Kreis eine Pizza ist, so könnten die farbig hinterlegten Teile als die Teile gesehen werden, die schon gegessen wurden. Ist die Pizza in drei gleich große Teile geteilt, so wurden $\frac{2}{3}$ der Pizza schon verspeist. Der Bruch, der zum ersten Bild passt, ist daher $\frac{2}{3}$.

  • Auf dem zweiten Bild ist ein Kreis zu sehen, der in sechs gleich große Teile unterteilt wurde. Vier von diesen sechs Teilen sind farbig hinterlegt. Die farbigen Teile stellen den Zähler dar, die Gesamtanzahl der Teile den Nenner. Der passende Bruch ist $\frac{4}{6}$.

  • Der dritte Kreis ist in zwölf Teile aufgeteilt. Jetzt stellt sich wieder die Frage, wie viele Teile von diesen zwölf farbig sind. Hier sind es vier. Der richtige Bruch ist daher $\frac{4}{12}$.

  • Auf dem vierten Bild ist ein Kreis mit sechs gleich großen Teilen zu sehen. Zwei von den sechs Teilen sind farbig, daher ist der entsprechende Bruch dazu $\frac{2}{6}$.

• Berechne die fehlenden Zahlen.

  Tipps

  Schau dir entweder die beiden Zähler der Brüche oder die beiden Nenner der Brüche an. Versuche anhand der beiden Zähler bzw. Nenner herauszufinden, mit welcher Zahl erweitert bzw. gekürzt wurde.

  Verwende eine Umkehraufgabe, um die fehlende Zahl zu erhalten.

  Lösung

  Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Um einen Bruch zu kürzen, dividiert man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

  Mit Hilfe von Umkehraufgaben kannst du die Zahl, mit der erweitert oder gekürzt wurde, immer finden. Wir lösen eine Aufgabe gemeinsam: Um herauszufinden, mit welcher Zahl $\frac{48}{216}$ gekürzt wurde, sodass $\frac{2}{9}$ daraus entsteht, betrachten wir nur die Zähler:

  $48 : ~? = 2$.

  Nun bilden wir die Umkehraufgabe:

  $2 \cdot ~? = 48$, also ist $48 : 2 = ~? $.

  Wir erhalten als Lösung $24$.

  Auf demselben Weg erhalten wir auch die Lösung, wenn der Ausgangsterm gesucht ist. Ein Beispiel:

  $?$ gekürzt mit $64$ ergibt $\frac{4}{7}$.

  Wir betrachten Zähler und Nenner getrennt:

  $ ?~ : 64 = 4$ und $ ?~ : 64 = 7$.

  Die Umkehraufgabe für den Zähler lautet dann:

  $ 64 \cdot 4 = 256$.

  Und für den Nenner:

  $ 64 \cdot 7 = 448$.

  Die Lösung ist somit $\frac{256}{448}$.