30 Tagekostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung

Bewertung

Ø 4.3 / 743 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Mathe-Team
Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Beschreibung Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung

Kürzen und Erweitern von Brüchen zählen zu den Grundfertigkeiten der Mathematik. Brüche wirst du nämlich nicht nur im Unterricht immer und immer wieder antreffen, sondern auch im Alltag. Du sollst beispielsweise einen Viertel Liter (l = Liter) Milch für ein Rezept vorbereiten. Auf deinem Messbecher wird allerdings der Liter nur in Achtel-Abständen angegeben: 1/8 l, 2/8 l, 3/8 l und so weiter. Welche der Angaben gehört nun zu der Mengenangabe 1/4 l? Im Video wirst du erfahren, wie du dieses Problem lösen kannst. Viel Spaß dabei

Transkript Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung

Hi, in diesem Video geht es um das Kürzen und Erweitern von Brüchen. Das sind zwei wichtige Rechentechniken die wir brauchen, um mit Brüchen rechnen zu können. Zunächst werden wir klären, was beim Erweitern eines Bruches geschieht, dann wenden wir uns dem Kürzen zu und abschließend betrachten wir einige Aufgabenbeispiele zum Kürzen und Erweitern. Du hast ja schon einiges über Brüche und ihre Darstellung erfahren. Brüche stellen eine Angabe von Teilen eines Ganzen dar. Die blau eingefärbten Flächen stellen zum Beispiel zwei Drittel der gesamten Kreisfläche dar, die roten Klötzchen drei Siebtel des ganzen Turms. Stellen wir diese Anteile als Bruchzahlen dar, schreiben wir 2/3 beziehungsweise 3/7. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Und der Zähler gibt dann an, wie viele von diesen Teilen genommen werden. Soweit, so gut. Was bedeutet nun Erweitern? Nehmen wir nochmal den Kreis von eben, unterteilen ihn jetzt aber feiner. Jedes Kreisstück halbieren wir noch einmal, malen also überall einen weiteren Strich dazwischen. Was ist dadurch passiert? Wir haben die Aufteilung des Kreises verfeinert. Von drei in sechs gleich große Kreisstücke. Der Anteil des Kreises der blau ist bleibt dadurch natürlich gleich. Nur die Anzahl blauer Kreisstücke hat sich verdoppelt. Vier anstelle von zwei. Es sind nun nicht mehr zwei der drei Stücke blau, sondern vier der sechs Stücke blau. Das Verhältnis an blauen und nichtblauen Flächen blieb gleich. Mathematisch gesehen wurde der Bruch erweitert. Bedeutet: Zähler und Nenner wurden mit 2 multipliziert. Aus 2/3 werden 4/6. Erweitern eines Bruches bedeutet also, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches ändert sich nicht, lediglich die Einteilung wird verfeinert. Beim Kürzen gehen wir quasi den umgekehrten Weg. Wir haben einen Kreis in zwölf gleich große Stücke aufgeteilt. Davon sind vier rot. 4/12 des Kreises sind daher rot gefärbt. Wir wollen diese Aufteilung nun nicht verfeinern, sondern gröber machen. Dazu fassen wir jeweils zwei Stücke zu einem zusammen. Die Gesamtzahl von Stücken verkleinert sich dadurch von zwölf auf sechs Stücke. Gleichzeitig verkleinert sich auch die Anzahl rot markierter Stücke von vier auf zwei. Nun sind 2/6 des Kreises rot gefärbt. Da allerdings noch dieselbe Fläche rot ist, können wir gewiss sein, dass beide Brüche dasselbe Verhältnis von weißer zu roter Fläche ausdrücken. Was ist nun mathematisch passiert? Die beiden Bruchzahlen 4/12 und 2/6 bezeichnen also denselben Bruch. Zähler und Nenner haben wir durch dieselbe Zahl geteilt. 4:2 im Zähler, 12:2 im Nenner, ergibt 2/6. Kürzen eines Bruches bedeutet also, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches ändert sich nicht, nur die Einteilung wird vergröbert. Kürzen kann man allerdings nur dann, wenn Zähler und Nenner denselben Teiler haben. Mit der null darf man allerdings nicht kürzen, weil wir durch null nicht teilen dürfen. Da bei unserem Beispiel Zähler und Nenner den gemeinsamen Teiler 2 haben, können wir noch einmal mit der Zahl 2 kürzen. Das heißt, wir teilen Zähler und Nenner durch 2 und erhalten 1/3. Alle drei Brüche beschreiben am Ende denselben Wert. 4/12=2/6=1/3. Das Prinzip des Erweiterns und Kürzens hast du nun sicher verstanden. Schauen wir uns also Beispiele dazu an. 5/7 soll mit der Zahl 4 erweitert werden. Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner mit der Zahl 4 und erhalten 20/28. Hier die nächste Aufgabe, 4/5 sind auch 20/25. Mit welcher Zahl wurde hier erweitert? Mit fünf, denn 4×5=20 und 5×5=25. Den Bruch 18/24 sollen wir kürzen. Wir sehen sofort, dass Zähler und Nenner als gemeinsamen Teiler die 2 haben. Wir kürzen also den Zähler, 18:2, und den Nenner, 24:2, und erhalten 9/12. Die 9 und 12 sind durch drei teilbar, also können wir weiter kürzen. 9/12=(9:3)/(12:3)=3/4. Diese Gleichung ist unvollständig. 24/39=8/?. Welche Zahl gehört denn hier in den Nenner? Deine Aufgabe ist es, die fehlende Zahl zu finden. Am Zähler erkennen wir, dass gekürzt wurde, und zwar mit der Zahl 3. 24/3=8. Also muss der Nenner auch durch 3 geteilt werden. 39/3=13, der vollständige Bruch rechts ist demnach 8/13. Wir fassen zusammen: Erweitern eines Bruches bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches ändert sich nicht, lediglich die Einteilung wird verfeinert. Kürzen eines Bruches bedeutet, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches ändert sich nicht, nur die Einteilung wird vergröbert. Tschüss!

258 Kommentare

258 Kommentare
  1. ganz gut erklärt nur ich verstehe es beser bei lehrer schmidt aber trotzdem gut

    Von Paul, vor etwa 15 Stunden
  2. cooles vidoi

    Von Axel H., vor 6 Monaten
  3. super Erklärung

    Von Jennifernoezel, vor 7 Monaten
  4. Das war sehr gut erklärt

    Von Itslearning Nutzer 2535 898885, vor 7 Monaten
  5. ich würde mich freuen wenn ein video zum vollständig kürzen kommt

    Von Anne Kotzschmar, vor 8 Monaten
Mehr Kommentare

Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche kürzen und erweitern – Wiederholung kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre, was beim Kürzen und beim Erweitern von Brüchen beachtet werden muss.

    Tipps

    Der Zähler steht über dem Bruchstrich.

    Man kann auch sagen: Der Zähler zählt die Anzahl an Anteilen des Ganzen.

    Merke dir: Beim Kürzen werden der Zähler und der Nenner kleiner.

    Lösung

    Teilt man ein Ganzes in beispielsweise vier gleich große Teile und betrachtet davon einen Anteil, so erhält man einen Bruch, der folgendermaßen aussehen kann: $\frac{1}{4}$. Die Zahl unter dem Bruchstrich nennt man Nenner. Er gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Die Zahl, die auf dem Bruchstrich steht, nennt man Zähler. Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an, die betrachtet werden.

    Möchte man einen Bruch erweitern, damit die Teile des Ganzen vermehrt werden, so multipliziert man Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert und die Einteilung des Ganzen wird verringert.

  • Gib die Zahl an, mit der erweitert oder gekürzt wurde.

    Tipps

    Erweitern bedeutet, dass der Zähler und der Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden.

    Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert.

    Betrachte beispielsweise die Zähler einer Aufgabe und bilde dann die Umkehraufgabe.

    Die Umkehraufgabe von $5 \cdot~? = 20$ ist $20 : 5 =~?$.

    Somit erhältst du den Faktor, mit dem erweitert wurde.

    Lösung

    Möchten wir einen Bruch erweitern, so müssen wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Beim Kürzen dividieren wir Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

    Wir beginnen mit der ersten Aufgabe $\frac{5~\cdot ~?}{7~\cdot ~?} = \frac{20}{28}$ und betrachten nur die Zähler:

    $5 \cdot~? = 20$.

    Nun bilden wir die Umkehraufgabe:

    $20 : 5 =4$.

    Somit wurde der Bruch $\frac{5}{7}$ mit $4$ erweitert, da $\frac{5}{7} \cdot \frac{4}{4} = \frac{20}{28}$ ergibt.

    Um von $\frac{4}{5}$ auf $\frac{20}{25}$ zu kommen, muss der Bruch mit $5$ erweitert werden, denn

    $4 \cdot 5 = 20$ (Zähler) und $5 \cdot 5= 25$ (Nenner).

    Kürzt man $\frac{18}{24}$ durch $2$, so erhält man $\frac{9}{12}$, denn

    $18 : 2 = 9$ und $24 : 2 = 12$.

    Mit welcher Zahl muss man $\frac{9}{12}$ kürzen, um $\frac{3}{4}$ zu erhalten? Wir betrachten nur die Zähler mit

    $9 : ~ ? = 3$.

    Wir erkennen, dass die gesuchte Zahl $3$ sein muss, weil

    $3 \cdot 3 = 9$.

  • Erkläre, wie du Brüche mit $6$ erweitern kannst.

    Tipps

    Brüche stellen Teile eines Ganzen dar.

    Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

    Lösung

    Möchte man einen Bruch erweitern, so müssen Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Lediglich die Einteilung wird verfeinert.

    Hat man zum Beispiel den Bruch $\frac{4}{6}$, so ist ein Ganzes in $6$ gleich große Teile geteilt. $4$ von diesen Teilen werden gezählt.

    Das könnte man auch mit einer Pizza verdeutlichen. Eine Pizza ist ein Ganzes. Diese Pizza teilt man in $6$ gleich große Teile, $4$ von diesen Teilen sind dabei mit extra viel Käse belegt.

    Erweitert man den Bruch $\frac{4}{6}$ mit der Zahl $6$, so muss man Zähler und Nenner mit $6$ multiplizieren. Man erhält also $\frac{24}{36}$.

    Was bedeutet das nun für die Pizza? Sie wird nicht in $6$ gleich große Teile geteilt, sondern in $36$ gleich große Teile. Nun sind auch nicht mehr $4$ Teile davon mit extra viel Käse belegt, sondern $24$. Die Anzahl der gesamten Teile hat sich versechsfacht und auch die Teile mit extra viel Käse. Die Pizza hat weiterhin dieselbe Größe, doch die einzelnen Teile der Pizza sind nun kleiner.

  • Gib an, mit welcher Zahl gekürzt wurde.

    Tipps

    Kürzen kann man nur dann, wenn Zähler und Nenner den gleichen Teiler haben.

    Man darf nicht mit Null kürzen.

    Lösung

    Möchte man einen Bruch kürzen, so müssen Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl dividiert werden. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Lediglich die Einteilung wird vergröbert. Hat man zum Beispiel einen Bruch von $\frac{3}{6}$, so ist ein Ganzes in $6$ gleich große Teile geteilt. $3$ von diesen Teilen werden gezählt.

    Dies könnte mit einer Pizza verdeutlicht werden. Eine Pizza ist ein Ganzes. Diese Pizza ist in $6$ gleich große Teile aufgeteilt, $3$ von diesen Teilen sind dabei mit extra viel Käse belegt. Kürzt man den Bruch $\frac{3}{6}$ mit der Zahl $3$, so muss man beide Zahlen durch $3$ dividieren. Man erhält $\frac{1}{2}$ als Ergebnis, denn $3 : 3 = 1$ und $6 : 3 = 2$. Für die so eben genannte Pizza bedeutet das, dass sich die Einteilung vergröbert. Sie besteht jetzt nicht mehr aus 6 gleich großen Teilen, sondern aus $2$. Mit extra viel Käse sind nun auch nicht mehr $3$ Teile belegt, sondern $1$ von den $2$ Teilen. Die Pizza hat weiterhin dieselbe Größe, nur die einzelnen Teile sind größer geworden und haben sich in der Anzahl verringert.

  • Bestimme, welche Bruchzahl jeweils in den Diagrammen gezeigt wird.

    Tipps

    Achte auf die verschiedenen Einteilungen der Kreise.

    Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an, die betrachtet werden.

    Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes unterteilt wird.

    Der Nenner steht unter dem Bruchstrich.

    Lösung
    • Der Kreis auf dem ersten Bild ist in drei gleich große Teile geteilt. Von diesen drei Teilen sind zwei farbig hinterlegt. Stellt man sich vor, dass der Kreis eine Pizza ist, so könnten die farbig hinterlegten Teile als die Teile gesehen werden, die schon gegessen wurden. Ist die Pizza in drei gleich große Teile geteilt, so wurden $\frac{2}{3}$ der Pizza schon verspeist. Der Bruch, der zum ersten Bild passt, ist daher $\frac{2}{3}$.
    • Auf dem zweiten Bild ist ein Kreis zu sehen, der in sechs gleich große Teile unterteilt wurde. Vier von diesen sechs Teilen sind farbig hinterlegt. Die farbigen Teile stellen den Zähler dar, die Gesamtanzahl der Teile den Nenner. Der passende Bruch ist $\frac{4}{6}$.
    • Der dritte Kreis ist in zwölf Teile aufgeteilt. Jetzt stellt sich wieder die Frage, wie viele Teile von diesen zwölf farbig sind. Hier sind es vier. Der richtige Bruch ist daher $\frac{4}{12}$.
    • Auf dem vierten Bild ist ein Kreis mit sechs gleich großen Teilen zu sehen. Zwei von den sechs Teilen sind farbig, daher ist der entsprechende Bruch dazu $\frac{2}{6}$.
  • Berechne die fehlenden Zahlen.

    Tipps

    Schau dir entweder die beiden Zähler der Brüche oder die beiden Nenner der Brüche an. Versuche anhand der beiden Zähler bzw. Nenner herauszufinden, mit welcher Zahl erweitert bzw. gekürzt wurde.

    Verwende eine Umkehraufgabe, um die fehlende Zahl zu erhalten.

    Lösung

    Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Um einen Bruch zu kürzen, dividiert man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

    Mit Hilfe von Umkehraufgaben kannst du die Zahl, mit der erweitert oder gekürzt wurde, immer finden. Wir lösen eine Aufgabe gemeinsam: Um herauszufinden, mit welcher Zahl $\frac{48}{216}$ gekürzt wurde, sodass $\frac{2}{9}$ daraus entsteht, betrachten wir nur die Zähler:

    $48 : ~? = 2$.

    Nun bilden wir die Umkehraufgabe:

    $2 \cdot ~? = 48$, also ist $48 : 2 = ~? $.

    Wir erhalten als Lösung $24$.

    Auf demselben Weg erhalten wir auch die Lösung, wenn der Ausgangsterm gesucht ist. Ein Beispiel:

    $?$ gekürzt mit $64$ ergibt $\frac{4}{7}$.

    Wir betrachten Zähler und Nenner getrennt:

    $ ?~ : 64 = 4$ und $ ?~ : 64 = 7$.

    Die Umkehraufgabe für den Zähler lautet dann:

    $ 64 \cdot 4 = 256$.

    Und für den Nenner:

    $ 64 \cdot 7 = 448$.

    Die Lösung ist somit $\frac{256}{448}$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spass Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10'234

Lernvideos

42'527

Übungen

37'548

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden